Piirväärtuse uurija

Sisesta funktsioon ja punkt a. Leht lähendab x-i punktile a mõlemalt poolt, vähendades igal sammul kaugust kümme korda, ning näitab, kuidas f seejuures käitub. Kas mõlemalt poolt lähenetakse samale väärtusele või kummaltki poolt erinevale? Kas väärtused kasvavad tõkestamatult või ei lähene üldse millelegi kindlale?

Piirväärtus on olemas, kui mõlemalt poolt lähenetakse samale lõplikule väärtusele	$x \to a lim f (x) = L ⟺ x \to a^{-} lim f (x) = x \to a^{+} lim f (x) = L$
Pidev punktis a	$x \to a lim f (x) = f (a)$
Piirväärtus, millel põhineb siinuse tuletis	$x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$

Näidisarvutus — Piirväärtuse uurija

Vasakpoolne piirväärtus	1
Parempoolne piirväärtus	1
Piirväärtus	1
Väärtus punktis a	määramata
Tüüp	Kõrvaldatav katkevus

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Piirväärtuse uurija

lim f(x) = L, kui x → a, tähendab, et f(x) jääb L-ile kuitahes lähedale, kui x on a-le piisavalt lähedal ja x ≠ a. Väärtus f(a) siin rolli ei mängi: see võib puududa või olla hoopis midagi muud.

Mida iga sümbol tähendab

a: punkt, millele x läheneb
L: piirväärtus
L⁻, L⁺: vasakpoolne ja parempoolne piirväärtus: lähenemisel vastavalt piirkonnast x < a ja x > a
h: kaugus punktist a, millel leht arvutab f-i väärtusi; see väheneb 10⁻¹-st kuni 10⁻⁸-ni

Kust valem tuleb

Alusta asendamisest. Seal, kus f on pidev, võrdub piirväärtus funktsiooni väärtusega. Polünoomid, sin, cos ja eˣ on pidevad kõikjal ning nende jagatis on pidev seal, kus nimetaja ei ole 0.
$x \to 2 lim (x^{2} + 1) = 2^{2} + 1 = 5$
0/0 korral tuleb edasi arvutada. Lugeja ja nimetaja ühise teguri (x − a) võib taandada, sest piirväärtuse leidmisel punkti x = a ennast ei vaadelda. Juurest saab vabaneda kaaskonjugaadiga korrutades.
$\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = x + 1 (x \neq = 1) \Rightarrow x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = 2$
Vaata mõlemat poolt. Kui kummaltki poolt lähenetakse erinevale väärtusele või lõpmatusele, siis lõplikku piirväärtust ei ole. Käitumise järgi saab määrata katkevuse liigi lehe allosas oleva juhise abil.
$x \to 0^{-} lim \frac{∣ x ∣}{x} = - 1 \neq = 1 = x \to 0^{+} lim \frac{∣ x ∣}{x}$
Kui lihtsustada ei õnnestu, kasuta kahte tõket. Kui punkti a lähedal kehtib g ≤ f ≤ h ning funktsioonidel g ja h on sama piirväärtus L, siis on see ka funktsiooni f piirväärtus. Radiaanide lehel tõestatakse nii, et sin x / x → 1. Samal viisil saab näidata, kuidas kahanevate tõkete vahele jääv võnkumine sumbub.
$- x^{2} \leq x^{2} sin \frac{1}{x} \leq x^{2} \Rightarrow x \to 0 lim x^{2} sin \frac{1}{x} = 0$

Iga tuletis on maskeeritud 0/0 🖖

Kõvera tõusu leidmiseks punktis võiks proovida avaldises (f(x+h) − f(x)) / h võtta h väärtuseks 0. Kõikjal, kus f on määratud, saaksime aga 0/0. Jagamine siin vastust ei anna: 0/0 ei ole arv ning ükski algebraline teisendus seda arvuks ei muuda. Piirväärtuse abil saab küsida, millele jagatis h vähenedes läheneb, ilma et h peaks nulliks saama. Nii leitaksegi puutuja tõus. Järgmisel lehel leiame selle piirväärtuse iga x korral.

Kui arvutabel valetab 🖖

Vajuta nuppu Ebasobivad proovipunktid. Leht arvutab f-i väärtused punktides x = a ± 10⁻ⁿ, kus n on 1 kuni 8. Funktsiooni sin(π/x) korral on punkti 0 lähedal igas reas 0, sest täisarvuliste astendajate korral sin(10ⁿπ) = 0. Seetõttu annab leht piirväärtuseks 0. Nende proovipunktide vahel võngub funktsioon aga lõputult väärtuste −1 ja +1 vahel ning tegelikult piirväärtust ei ole. Arvuline koondumine annab vihje, kuid ei ole tõestus.

PIIRVÄÄRTUSE TEOORIA — MIDA GRAAFIK TEEB, KUI x LÄHENEB a-LE

Millise piirväärtuse juhtumiga on tegu?

Piirväärtus küsib, kuhu f suundub, kui x läheneb a-le — mitte seda, mida f punktis a teeb. Loe kõigepealt kaks ühepoolset piirväärtust: kui need langevad kokku, on piirväärtus olemas ja üle jääb vaid küsimus, kas f(a) sobib sellega. Kui need erinevad, annab erinevuse kuju juhtumile nime — hüpe, lõpmatusse minek või lõputu võnkumine.

Kõrvaldatav auk — mõlemad pooled nõustuvad, f(a) puudub L⁻ = L⁺ ≠ f(a)

0/0, mis taandub — taanda enne järelduse tegemist 0/0 → ÷(x − a)

Hüpe — kaks poolt ei ole nõus L⁻ ≠ L⁺

Lõpmatu — väärtused jooksevad skaalalt välja f → ±∞ at x = a

Võnkumine — väärtused ei rahune kunagi ∄L, |f| ≤ 1

Kõrvaldatav auk — mõlemad pooled nõustuvad, f(a) puudub

Mida sa tead: Vasak- ja parempoolne piirväärtus on võrdsed ja lõplikud, kuid f(a) pole määratud. a asendamine annab 0/0 ja ükski tegur ei taandu.

Kontroll: L⁻ = L⁺ ≠ f(a)

Näidisarvutus: f(x) = sin(x)/x, a = 0 → f(0) annab 0/0, kuid f(±0,001) = 0,99999983 → piirväärtus = 1

Ava see juhtum: sinc sin(x)/x

Kõrvaldatav auk — mõlemad pooled nõustuvad, f(a) puudub. Mõlemad harud sihivad sama kõrgust; välja on löödud ainult punkt ise. Vasak- ja parempoolne piirväärtus on võrdsed ja lõplikud, kuid f(a) pole määratud. a asendamine annab 0/0 ja ükski tegur ei taandu. — Mõlemad harud sihivad sama kõrgust; välja on löödud ainult punkt ise.

0/0, mis taandub — taanda enne järelduse tegemist

Mida sa tead: a asendamine annab 0/0 ning lugejal ja nimetajal on ühine tegur (x − a).

Kontroll: 0/0 → ÷(x − a)

Näidisarvutus: f(x) = (x² − 1)/(x − 1), a = 1 → (x − 1)(x + 1)/(x − 1) = x + 1 → piirväärtus = 2

Ava see juhtum: Taanduv 0/0

0/0, mis taandub — taanda enne järelduse tegemist. Pärast taandamist on graafik sirge y = x + 1, millest üks punkt on eemaldatud. a asendamine annab 0/0 ning lugejal ja nimetajal on ühine tegur (x − a). — Pärast taandamist on graafik sirge y = x + 1, millest üks punkt on eemaldatud.

Hüpe — kaks poolt ei ole nõus

Mida sa tead: Mõlemad ühepoolsed piirväärtused on lõplikud, aga erinevad arvud. Graafik astub punktis a ühelt tasemelt teisele.

Kontroll: L⁻ ≠ L⁺

Näidisarvutus: f(x) = |x|/x, a = 0 → vasakpoolne piirväärtus = −1, parempoolne = +1 → piirväärtust ei ole

Ava see juhtum: Hüpe |x|/x

Hüpe — kaks poolt ei ole nõus. Kaks lamedat haru eri kõrgusel: pooled ei nõustu, ühtset piirväärtust pole. Mõlemad ühepoolsed piirväärtused on lõplikud, aga erinevad arvud. Graafik astub punktis a ühelt tasemelt teisele. — Kaks lamedat haru eri kõrgusel: pooled ei nõustu, ühtset piirväärtust pole.

Lõpmatu — väärtused jooksevad skaalalt välja

Mida sa tead: Vähemalt üks pool kasvab tõkestamatult. a asendamine annab nullist erineva arvu jagatuna nulliga, seega on x = a juures vertikaalne asümptoot.

Kontroll: f → ±∞ at x = a

Näidisarvutus: f(x) = 1/x, a = 0 → vasakult → −∞ ja paremalt → +∞ → lõplikku piirväärtust ei ole

Ava see juhtum: Lõpmatus 1/x

Lõpmatu — väärtused jooksevad skaalalt välja. Mõlemad harud põgenevad mööda vertikaalset asümptooti x = a. Vähemalt üks pool kasvab tõkestamatult. a asendamine annab nullist erineva arvu jagatuna nulliga, seega on x = a juures vertikaalne asümptoot. — Mõlemad harud põgenevad mööda vertikaalset asümptooti x = a.

Võnkumine — väärtused ei rahune kunagi

Mida sa tead: Funktsioon jääb tõkestatuks, kuid läbib sama vahemikku lõpmata palju kordi, ükskõik kui lähedalt a-le vaadata.

Kontroll: ∄L, |f| ≤ 1

Näidisarvutus: f(x) = sin(1/x), a = 0 → vahemikus x = 0,001 kuni x = 0,002 teeb graafik umbes 80 täisperioodi ja tabab iga väärtust lõigust [−1, 1]

Ava see juhtum: Võnkumine sin(1/x)

Võnkumine — väärtused ei rahune kunagi. Võnkumine muutub kiiremaks, mitte väiksemaks, kui x läheneb nullile. Funktsioon jääb tõkestatuks, kuid läbib sama vahemikku lõpmata palju kordi, ükskõik kui lähedalt a-le vaadata. — Võnkumine muutub kiiremaks, mitte väiksemaks, kui x läheneb nullile.

Ülesanded täielikult lahendatud

0/0 ja teguriteks lahutamine 3 sammu
Leia (x² − 9)/(x − 3) piirväärtus, kui x → 3.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Alusta asendamisest. Saame 0/0, seega tuleb edasi arvutada:
  
  $\frac{3 ^{2} - 9}{3 - 3} = \frac{0}{0}$
2. Lugejas on ruutude vahe, mille üks tegur on sama mis nimetajas. Taandame selle, sest piirväärtuse leidmisel punkti x = 3 ennast ei vaadelda:
  
  $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3 (x \neq = 3)$
3. Allesjäänud avaldis on punktis 3 pidev, seega võime asendada:
  
  $x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x \to 3 lim (x + 3) = 6$
Vastus

Piirväärtus on 6. Funktsioonil endal punktis 3 väärtust ei ole. Leht näitab mõlemat: piirväärtus on 6 ja väärtus punktis a on määramata.
0/0 ja ruutjuur 3 sammu
Leia (√(x + 4) − 2)/x piirväärtus, kui x → 0.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Asendame ja saame jälle 0/0.
  
  $\frac{0 + 4 - 2}{0} = \frac{0}{0}$
2. Siin ei saa otse teguriteks lahutada. Korrutame lugejat ja nimetajat kaaskonjugaadiga √(x + 4) + 2. Nii tekib lugejasse ruutude vahe ning x-i saab taandada:
  
  $\frac{x + 4 - 2}{x} \cdot \frac{x + 4 + 2}{x + 4 + 2} = \frac{( x + 4 ) - 4}{x ( x + 4 + 2 )} = \frac{1}{x + 4 + 2}$
3. Nüüd asendame:
  
  $x \to 0 lim \frac{1}{x + 4 + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$
Vastus

Piirväärtus on ¼. Lehe vasakus veerus lähenetakse väärtusele 0,25 ülevalt ja paremas alt.
sin 3x jagatud x-iga 3 sammu
Leia sin(3x)/x piirväärtus, kui x → 0.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Tuntud piirväärtuse kasutamiseks peab siinuse argument olema sama mis nimetaja. Korrutame ja jagame 3-ga:
  
  $\frac{sin 3 x}{x} = 3 \cdot \frac{sin 3 x}{3 x}$
2. Kui x → 0, siis ka u = 3x → 0, ning saame kasutada tuntud piirväärtust muutuja u jaoks:
  
  $u = 3 x \to 0 : \frac{sin u}{u} \to 1$
3. Seega:
  
  $x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{x} = 3 \cdot 1 = 3$
Vastus

Piirväärtus on 3. Sama võte annab sin(kx)/x → k iga nullist erineva konstandi k korral.
1 − cos x jagatud x²-ga ja tabel, milles tüvenumbrid kaovad 3 sammu
Leia (1 − cos x)/x² piirväärtus, kui x → 0, ning selgita, miks lehe tabeli viimases reas on 0.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Korrutame lugejat ja nimetajat avaldisega 1 + cos x ning kasutame seost 1 − cos²x = sin²x:
  
  $\frac{1 - cos x}{x ^{2}} \cdot \frac{1 + cos x}{1 + cos x} = \frac{1 - cos ^{2} x}{x ^{2} ( 1 + cos x )} = \frac{sin ^{2} x}{x ^{2}} \cdot \frac{1}{1 + cos x}$
2. Nüüd on iga teguri piirväärtus teada:
  
  $x \to 0 lim (\frac{sin x}{x})^{2} \cdot \frac{1}{1 + cos x} = 1^{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
3. Kui x = 10⁻⁸, erineb cos x arvust 1 suuruse 5 × 10⁻¹⁷ võrra. See on väiksem kui pool arvu 1 ja sellest vahetult väiksema arvutis esitatava arvu vahest. Seetõttu on arvutatud cos x täpselt 1 ja lugeja täpselt 0:
  
  $x = 1 0^{- 8} : cos x = 1 - 5 \times 1 0^{- 17} \Rightarrow fl (cos x) = 1, 1 - fl (cos x) = 0$
Vastus

Piirväärtus on ½. Tabelis püsib väärtus 0,500000 kuni reani x = 10⁻⁵, kaldub sellest kõrvale ridades 10⁻⁶ ja 10⁻⁷ ning muutub 10⁻⁸ juures nulliks. Leht võtab hinnangu kõige stabiilsemate ridade põhjal, mitte viimasest reast, ning kuvab 0,5.
Hüpe: kummalgi pool erinev väärtus 2 sammu
Leia |x − 2|/(x − 2) ühepoolsed piirväärtused punktis x = 2 ning otsusta, kas piirväärtus on olemas.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Avame absoluutväärtuse eraldi kummalgi pool punkti 2:
  
  $x < 2 : ∣ x - 2∣ = - (x - 2) \Rightarrow \frac{∣ x - 2∣}{x - 2} = - 1; x > 2 : \frac{∣ x - 2∣}{x - 2} = 1$
2. Kummaltki poolt saame erineva arvu:
  
  $x \to 2^{-} lim f (x) = - 1 \neq = 1 = x \to 2^{+} lim f (x)$
Vastus

Vasakpoolne piirväärtus on −1, parempoolne 1 ning piirväärtust ei ole. Ükski f(2) valik seda ei paranda: siin on hüpe.
Lõpmatu piirväärtus ja juht, kus sedagi pole 3 sammu
Kirjelda, kuidas käitub 1/(x − 1)², kui x → 1, ning võrdle seda avaldisega 1/(x − 1).

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Asendamisel saame arvu jagamise 0-ga. Lõplikku piirväärtust siin ei ole; tuleb uurida, kummas suunas väärtused kasvavad.
  
  $\frac{1}{( 1 - 1 ) ^{2}} = \frac{1}{0}$
2. Ruut on mõlemal pool positiivne ja läheneb 0-le, seega kasvab murd mõlemal pool. Kaugusel 10⁻³ on selle väärtus juba miljon:
  
  $(x - 1)^{2} > 0 (x \neq = 1), x = 1 \pm 1 0^{- 3} : \frac{1}{1 0 ^{- 6}} = 1 0^{6}$
3. Mõlemalt poolt lähenetakse +∞-le, seega kirjutatakse piirväärtuseks +∞. Ilma ruuduta muudab x − 1 punktis 1 märki ning kummalgi pool lähenetakse eri märgiga lõpmatusele:
  
  $x \to 1 lim \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}} = + \infty; x \to 1^{\mp} lim \frac{1}{x - 1} = \mp \infty$
Vastus

1/(x − 1)² → +∞ mõlemalt poolt; 1/(x − 1) läheneb vasakult −∞-le ja paremalt +∞-le ning sellel pole piirväärtust ka lõpmatuse tähenduses. Kummalgi funktsioonil ei ole punktis 1 väärtust, seega ei ole kumbki seal pidev.
Kahe tõkke teoreem 3 sammu
Leia x² sin(1/x) piirväärtus, kui x → 0.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. sin(1/x) võngub punkti 0 lähedal lõputult ning sellel pole piirväärtust. Seetõttu ei saa korrutise piirväärtust leida tegurite piirväärtuste korrutisena. Küll aga on siinus tõkestatud:
  
  $- 1 \leq sin \frac{1}{x} \leq 1 (x \neq = 0)$
2. Korrutame võrratuse kõik osad x²-ga, mis ei ole kunagi negatiivne:
  
  $- x^{2} \leq x^{2} sin \frac{1}{x} \leq x^{2}$
3. Mõlemad tõkked lähenevad 0-le, seega läheneb 0-le ka nende vahele jääv funktsioon:
  
  $x \to 0 lim (- x^{2}) = x \to 0 lim x^{2} = 0 \Rightarrow x \to 0 lim x^{2} sin \frac{1}{x} = 0$
Vastus

Piirväärtus on 0. Võnkumine jätkub üha kiiremini, kuid jääb 0-le lähenevate tõkete vahele.
Konstandi valik funktsiooni pidevuseks 2 sammu
f(x) = kx + 1, kui x < 2, ja f(x) = x², kui x ≥ 2. Leia k, mille korral f on punktis 2 pidev.
Näita lahendust
1. Pidevuseks punktis 2 peavad mõlemad ühepoolsed piirväärtused võrduma väärtusega f(2). Nii parempoolne piirväärtus kui ka funktsiooni väärtus on 4:
  
  $x \to 2^{-} lim (k x + 1) = 2 k + 1, x \to 2^{+} lim x^{2} = 4 = f (2)$
2. Võrdsustame sellega vasakpoolse piirväärtuse:
  
  $2 k + 1 = 4 \Rightarrow k = \frac{3}{2}$
Vastus

k = 3/2. Iga muu k korral on graafikul punktis 2 hüpe.
Piirväärtus lõpmatuses 2 sammu
Leia (3x² + 1)/(2x² − x) piirväärtus, kui x → ∞.
Näita lahendust
1. Jagame lugeja ja nimetaja nimetajas esineva x-i kõrgeima astmega x²:
  
  $\frac{3 x ^{2} + 1}{2 x ^{2} - x} = \frac{3 + \frac{1}{x ^{2}}}{2 - \frac{1}{x}}$
2. Kõik liikmed, mille nimetajas on x, lähenevad 0-le:
  
  $\frac{1}{x} \to 0, \frac{1}{x ^{2}} \to 0 \Rightarrow x \to \infty lim \frac{3 x ^{2} + 1}{2 x ^{2} - x} = \frac{3}{2}$
Vastus

Piirväärtus on 3/2 ehk kõrgeima astme liikmete kordajate jagatis. Graafiku horisontaalne asümptoot on y = 3/2.
Tõestus, et sin x / x → 1: iga ε jaoks sobiv δ 5 sammu
Tõesta, et sin x / x → 1, leides iga ε jaoks sobiva δ, ning ennusta tabeli kahe kasutatava rea väärtused enne nende vaatamist. Vaatleme funktsiooni f(x) = sin(x)/x, kui x → 0.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Siinuse rida võib jagada x-iga iga x ≠ 0 korral ning piirväärtuse leidmisel muid punkte ei vaadeldagi. Saadud avaldises on ainult x-i paarisastmed. Seetõttu on tabeli vasakus ja paremas veerus igas reas täpselt samad numbrid.
  
  $\frac{sin x}{x} = \frac{1}{x} (x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} - \dots) = 1 - \frac{x ^{2}}{6} + \frac{x ^{4}}{120} - \dots$
2. Siin piisab kahest liikmest: x⁴-ga liige on juba suurusjärgus 8,33 × 10⁻⁷ ega mõjuta kuuendat kohta pärast koma.
  
  $x = \pm 0.1 : 1 - \frac{1 0 ^{- 2}}{6} + \frac{1 0 ^{- 4}}{120} - \dots = 1 - 1.666667 \times 1 0^{- 3} + 8.33 \times 1 0^{- 7} = 0.998334$
3. Kui x väheneb kümme korda, väheneb vahe arvuga 1 sada korda. Lähenemine on x-i suhtes ruutkiirusega. See ütleb märksa rohkem kui “piirväärtus on 1” ning selle kindlakstegemiseks piisab tabeli kahest reast.
  
  $x = \pm 0.01 : 0.999983, \frac{1 - f ( 0.1 )}{1 - f ( 0.01 )} = \frac{1.665834 \times 1 0 ^{- 3}}{1.666658 \times 1 0 ^{- 5}} = 99.95$
4. Arvulised andmed ei asenda tõestust, seega hindame kogu jääkliiget korraga. Kui |x| ≤ 1, siis rea liikmed on vahelduva märgiga ja nende absoluutväärtused kahanevad. Kogu 1-le järgnev osa on seega absoluutväärtuselt väiksem kui esimene ärajäetud liige x²/6. Avaldame võrratusest δ, et saada selle leidmiseks valem.
  
  $\frac{sin x}{x} - 1 \leq \frac{x ^{2}}{6} (∣ x ∣ \leq 1) ⟹ δ (ε) = 6 ε (ε \leq \frac{1}{6})$
5. Vaata, mida ruutjuur nõuab. Kui vähendada ε-i miljon korda, tuleb x-i vähendada vaid tuhat korda.
  
  $ε = 1 0^{- 6} \Rightarrow δ = 2.449 \times 1 0^{- 3}; ε = 1 0^{- 12} \Rightarrow δ = 2.449 \times 1 0^{- 6}$
Vastus

Tabelis on x = 0,1 korral 0,998334 ja x = 0,01 korral 0,999983. Mõlemad väärtused leidsime siin rea nelja liikme abil juba enne tabeli vaatamist. Valem δ = √(6ε) annab lisaks kindluse: iga etteantud veapiiri jaoks leiab sobiva x-i ühe ruutjuuretehtega ning edasine suurendamine ei saa enam üllatust tuua. See selgitab ka, miks tabel peagi enam midagi uut ei näita. Iga reaga väheneb x kümme korda, vahe aga sada korda. Kolmandaks reaks on vahe 1,6667 × 10⁻⁷ ehk alla poole kuuenda kümnendkoha ühikust. Seetõttu kuvatakse selles ja viies järgmises reas 1,000000, kuigi x = 0,001 korral on väärtus 0,99999983. Vahet tasub alles hoida: kui jagada esimese rea vahe 1,665834 × 10⁻³ arvuga 0,01, saame 0,16658 ehk 1/6. Selle kuulsa piirväärtuse taga peitub teinegi ning rida näitas selle juba ette kätte.

$δ (ε) = 6 ε, x \to 0 lim \frac{1 - \frac{s i n x}{x}}{x ^{2}} = \frac{1}{6}$

Õpitee

Miks kõik tundub lähedalt sirge

Allikad (1)

When “heading towards” stopped being a way of speaking and became something you can check: J. V. Grabiner, "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus", in Who Gave You the Epsilon? And Other Tales of Mathematical History, 5–13. Mathematical Association of America, 2009.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.