Silindriliste kihtide meetod

Ümber y-telje pöörleva tasandilise kujundi saab viilutada kahelt poolt: kas teljega risti seibideks või telje suunas õhukesteks silindrilisteks kihtideks, mille raadius on x ja kõrgus h(x). Ruumala väärtus on mõlemal juhul sama ja leht arvutab välja mõlemad, teineteisest täiesti sõltumatult. Kogu vahe peitub integraali keerukuses — selle määrabki valitud lõikesuund.

Kihid ümber y-telje	$V = 2 π \int_{a}^{b} x h (x) d x$
Pappos	$V = A \cdot 2 π \overset{r}{ˉ}$

Näidisarvutus — Silindriliste kihtide meetod

Kihi külgpindala kohal x	0,7854
Ruumala kihtide abil	1,5708
Ruumala seibidega (risti y)	1,5708
Kiht kohal x	2πx·h(x)

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Silindriliste kihtide meetod

Kui pöörata kõvera y = h(x) alust piirkonda lõigul a ≤ x ≤ b ümber y-telje, saadakse keha, mille ruumala on silindriliste kihtide abil V = 2π∫ₐᵇ x h(x) dx: iga püstriba kohal x tekitab pöörlemisel õhukese silindri raadiusega x, kõrgusega h(x) ja paksusega dx.

Mida iga sümbol tähendab

h(x): piirkonna kõrgus kohal x: ülemine piir miinus alumine piir
x: kihi raadius ehk kaugus pöördteljest

Kust valem tuleb

Üks kiht. Lahtirullituna on õhuke silinder raadiusega x, kõrgusega h ja paksusega Δx peaaegu lame risttahukas pikkusega 2πx ja kõrgusega h, mistõttu selle ruumala on ligikaudu 2πx·h·Δx.
$Δ V \approx (2 π x) \cdot h (x) \cdot Δ x$
Liida kihid kokku. Summeeri üle kõigi ribade ja lase paksusel Δx kahaneda.
$V = lim i \sum 2 π x_{i} h (x_{i}) Δ x = 2 π \int_{a}^{b} x h (x) d x$

Ülesanded täielikult lahendatud

Sama keha, mõlemat pidi 2 sammu
Kõvera y = x² alune piirkond lõigul [0, 1] pöörleb ümber y-telje. Leia ruumala kihtide ja seibide abil.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Kihid: raadius x, kõrgus x².
  
  $V = 2 π \int_{0}^{1} x \cdot x^{2} d x = 2 π \cdot \frac{1}{4} = \frac{π}{2}$
2. Seibid: y-telje sihis ulatub piirkond joonest x = √y jooneni x = 1.
  
  $V = π \int_{0}^{1} (1^{2} - (y)^{2}) d y = π \cdot \frac{1}{2} = \frac{π}{2}$
Vastus

π/2 ≈ 1,5708, mõlemat pidi.

$V = \frac{π}{2} \approx 1.5708$
Kus kihtidega on lihtsam 2 sammu
Pööra kõvera y = sin x alune piirkond lõigul [0, π] ümber y-telje. Leia ruumala.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kihid: raadius x, kõrgus sin x.
  
  $V = 2 π \int_{0}^{π} x sin x d x$
2. Ositi integreerimine integraalile ∫x sin x dx, u = x, dv = sin x dx:
  
  $\int_{0}^{π} x sin x d x = [- x cos x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} cos x d x = π + 0$
Vastus

2π² ≈ 19,7392. Seibidega lahendades vajab see funktsiooni arcsin y, mistõttu ei tee seda keegi vabatahtlikult.

$V = 2 π^{2} \approx 19.7392$
Kahe kõvera vaheline piirkond 1 sammu
Kõverate y = x ja y = x² vaheline piirkond lõigul [0, 1] pöörleb ümber y-telje. Leia ruumala.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kihid: raadius x, kõrgus x − x².
  
  $V = 2 π \int_{0}^{1} x (x - x^{2}) d x = 2 π (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{π}{6}$
Vastus

π/6 ≈ 0,5236.

$V = \frac{π}{6} \approx 0.5236$
Toor 2 sammu
Ring (x − 2)² + y² ≤ 1 pöörleb ümber y-telje. Leia ruumala.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Pappose järgi: pindala korrutatuna keskpunkti läbitud teepikkusega.
  
  $V = A \cdot d = π \cdot 1^{2} \cdot 2 π \cdot 2 = 4 π^{2}$
2. Kihtide abil on kõrgus kohal x võrdne 2√(1 − (x − 2)²):
  
  $V = 2 π \int_{1}^{3} x \cdot 2 1 - (x - 2)^{2} d x = u = x - 2 4 π \int_{- 1}^{1} (u + 2) 1 - u^{2} d u = 4 π \cdot 2 \cdot \frac{π}{2}$
Vastus

4π² ≈ 39,4784. Kihtide integraal nõuab asendust ja poolringi pindala leidmist; Pappose lausega piisab ühest reast.

$V = 4 π^{2} \approx 39.4784$
Juurfunktsioon kihtide abil 1 sammu
Kõvera y = √x alune piirkond lõigul [0, 4] pöörleb ümber y-telje. Leia ruumala.
Näita lahendust
1. Kihid: raadius x, kõrgus √x, seega on integreeritavaks funktsiooniks x-i astmefunktsioon.
  
  $V = 2 π \int_{0}^{4} x x d x = 2 π [\frac{2}{5} x^{5/2}]_{0}^{4} = 2 π \cdot \frac{64}{5}$
Vastus

128π/5 ≈ 80,4248.

$V = \frac{128 π}{5} \approx 80.4248$
Kihid ümber x-telje 2 sammu
Leia kihtide abil ruumala, kui kõvera y = x² alune piirkond lõigul [0, 1] pöörleb ümber x-telje.
Näita lahendust
1. Ümber x-telje pöörates kulgevad kihid piki x-telge: raadius on y ja pikkus ulatub joonest x = √y jooneni x = 1.
  
  $V = 2 π \int_{0}^{1} y (1 - y) d y = 2 π (\frac{1}{2} - \frac{2}{5}) = \frac{π}{5}$
2. Kontroll ketaste abil:
  
  $V = π \int_{0}^{1} (x^{2})^{2} d x = \frac{π}{5}$
Vastus

π/5 ≈ 0,6283, mõlemal viisil. Silindrilised kihid asetsevad alati paralleelselt pöördteljega ning nende raadius on kaugus teljest.

$V = \frac{π}{5} \approx 0.6283$

Kaks viilutust, üks ruumala 🖖

Vajuta nuppu y = x², mõlemat pidi. Kihid viilutavad keha üksteise sees asuvateks silindriteks raadiusega x ja kõrgusega x² ning liidavad lõigul [0, 1] kokku liikmed 2πx·x². Seibid lõikavad seda risti teljega: tekivad kettad raadiusega 1, millest on välja võetud auk raadiusega √y, andes lõigul [0, 1] integraaliks π(1 − y). Kumbki arvutus ei toetu teisele, ometi annavad mõlemad tulemuseks 1,5708 = π/2. Nii peabki olema. Need on lihtsalt kaks eri viisi sama keha õhukesteks tükkideks jagada ja ruumala ei sõltu ju noast.

Lõika piki seda suunda, kus piirkonda on lihtsam kirjeldada 🖖

Vajuta nuppu sin x: kihid võidavad. Muutuja x kaudu on piirkonda hõlpus kirjeldada: 0 ≤ y ≤ sin x, kus 0 ≤ x ≤ π. Seepärast annavad kihid integraali 2π∫x sin x dx, mis vajab vaid ühekordset ositi integreerimist ja toob vastuseks 2π². Piki y-telge vaadates ulatub piirkond väärtusest arcsin y väärtuseni π − arcsin y. Seibimeetod nõuab seega integraali π∫((π − arcsin y)² − (arcsin y)²) dy. Leht arvutab selle muidugi välja ja jõuab täpselt sama tulemuseni 19,7392, kuid käsitsi ei valiks seda teed keegi. Enne meetodi kasuks otsustamist tasub vaadata, kumma muutuja lihtsa funktsioonina piirkonna piirid avalduvad. Lõigata tuleks piki teist muutujat.

Toor on ring korrutatuna oma keskpunkti teepikkusega 🖖

Vajuta nuppu Toor. Ring raadiusega 1, mille keskpunkt on kohal x = 2, tekitab pöörlemisel rõngakujulise toori. Kihtide meetod annab selle ruumalaks 39,4784 = 4π². Tulemus pole juhuslik: see on ringi pindala π korrutatuna teepikkusega, mille keskpunkt ümber pöördtelje läbib: 2π·2 = 4π. Aleksandria Pappos pani selle kirja juba 340. aasta paiku oma „Matemaatilise kogumiku“ VII raamatus iga piirkonna jaoks, mis pöörleb sellest väljaspool asuva telje ümber. Paul Guldin avaldas sama seose uuesti 1640. aastal ja sageli tuntaksegi seda tema nime järgi.

Õpitee

Integraali rakendused

Allikad (3)

The method of cylindrical shells as the page uses it (equation 6.6, V = ∫ₐᵇ 2πx f(x) dx about the y-axis), and the section's own comparison of shells with discs and washers, the choice depending on which integral is easier: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.3, “Volumes of Revolution: Cylindrical Shells”.
Insight block 3: Theorem 6.14, Theorem of Pappus for Volume (a region turned about a line that does not meet it has volume equal to its area times the distance its centroid travels): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.6, “Moments and Centers of Mass”.
Insight block 3: the attribution, “what is now known as Guldin's theorem was proved by Pappus in Book VII of the Mathematical Collection”, the Collection “thought to have been written in around 340”, and Guldin's publication in 1640: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Pappus of Alexandria”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated April 1999).

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.