Explorateur de limites

Saisissez une fonction et un point a. La page fait tendre x vers a par la gauche et par la droite, en divisant la distance par dix à chaque étape, et suit les valeurs de f : une même valeur des deux côtés, deux valeurs distinctes, une divergence vers l’infini ou aucune stabilisation.

Une limite existe si les limites à gauche et à droite coïncident et sont finies	$x \to a lim f (x) = L ⟺ x \to a^{-} lim f (x) = x \to a^{+} lim f (x) = L$
Continue en a	$x \to a lim f (x) = f (a)$
La limite qui fonde la dérivée du sinus	$x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$

Exemple résolu — Explorateur de limites

Limite à gauche	1
Limite à droite	1
La limite	1
La valeur en a	indéfini
Type	Discontinuité éliminable

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

Leçon

La théorie — Explorateur de limites

lim f(x) = L lorsque x → a signifie que f(x) reste aussi proche de L que vous le souhaitez dès que x est suffisamment proche de a, avec x ≠ a. La valeur f(a) n’intervient pas : elle peut ne pas exister ou être différente de L.

Ce que signifie chaque symbole

a: le point vers lequel tend x
L: la limite
L⁻, L⁺: les limites à gauche et à droite, pour x < a et pour x > a
h: la distance à a des points où la page calcule f, de 10⁻¹ à 10⁻⁸

D’où vient la formule

Commencez par remplacer x par a. Si f est continue en a, sa limite est sa valeur en a. Les polynômes, sin, cos et eˣ sont continus partout ; un quotient de ces fonctions l’est partout où son dénominateur est différent de 0.
$x \to 2 lim (x^{2} + 1) = 2^{2} + 1 = 5$
Une forme 0/0 demande de poursuivre le calcul. Si le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun (x − a), vous pouvez le simplifier, car la limite ne dépend jamais de ce qui se passe en x = a. Pour éliminer une racine, multipliez par l’expression conjuguée.
$\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = x + 1 (x \neq = 1) \Rightarrow x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = 2$
Examinez les deux côtés. Si les limites diffèrent ou sont infinies, il n’y a pas de limite finie. Le comportement observé détermine le type de discontinuité présenté dans le guide en bas de page.
$x \to 0^{-} lim \frac{∣ x ∣}{x} = - 1 \neq = 1 = x \to 0^{+} lim \frac{∣ x ∣}{x}$
Faites appel au théorème des gendarmes. Si g ≤ f ≤ h au voisinage de a et si g et h ont la même limite L, alors f tend aussi vers L. La page sur les radians démontre ainsi que sin x / x → 1. Ce même encadrement permet de maîtriser des oscillations dont l’amplitude tend à s’annuler.
$- x^{2} \leq x^{2} sin \frac{1}{x} \leq x^{2} \Rightarrow x \to 0 lim x^{2} sin \frac{1}{x} = 0$

Toute dérivée est un 0/0 déguisé 🖖

Pour obtenir la pente d’une courbe en un point, on voudrait poser h égal à 0 dans (f(x+h) − f(x)) / h. On obtient alors 0/0 partout où f est définie. Cette division ne donne aucune réponse : 0/0 n’est pas un nombre, et aucune manipulation algébrique ne peut en faire un. La limite contourne cette difficulté. Elle cherche vers quoi tend le quotient lorsque h devient de plus en plus petit en valeur absolue, sans jamais lui donner sa valeur finale. C’est elle qui fournit la pente de la tangente. La page suivante calcule cette limite en chaque x.

Quand le tableau de valeurs induit en erreur 🖖

Cliquez sur Points mal choisis. La page calcule f en x = a ± 10⁻ⁿ pour n allant de 1 à 8. Pour sin(π/x) au voisinage de 0, chaque ligne affiche 0, car sin(10ⁿπ) = 0 lorsque l’exposant est entier. La page annonce donc une limite de 0. Entre ces points, la fonction oscille indéfiniment entre −1 et +1 ; sa limite n’existe pas. Une convergence numérique donne un indice, jamais une preuve.

THÉORIE DES LIMITES — CE QUE FAIT LA COURBE QUAND x TEND VERS a

Dans quel cas de limite êtes-vous ?

Une limite demande vers quoi f se dirige quand x tend vers a, jamais ce que f vaut en a. Lisez d'abord les deux limites latérales : si elles coïncident, la limite existe et il reste seulement à vérifier si f(a) lui correspond. Si elles diffèrent, la forme du désaccord nomme le cas — un saut, une explosion ou une oscillation sans fin.

Trou éliminable — les deux côtés s'accordent, f(a) manque L⁻ = L⁺ ≠ f(a)

0/0 qui se simplifie — factorisez avant de conclure 0/0 → ÷(x − a)

Saut — les deux côtés se contredisent L⁻ ≠ L⁺

Infinie — les valeurs sortent de l'échelle f → ±∞ at x = a

Oscillation — les valeurs ne se stabilisent jamais ∄L, |f| ≤ 1

Trou éliminable — les deux côtés s'accordent, f(a) manque

Ce que vous savez: Les limites à gauche et à droite sont égales et finies, mais f(a) n'est pas définie. Remplacer x par a donne 0/0, et aucun facteur ne se simplifie.

Test: L⁻ = L⁺ ≠ f(a)

Exemple résolu: f(x) = sin(x)/x en a = 0 → f(0) donne 0/0, pourtant f(±0,001) = 0,99999983 → limite = 1

Ouvrir ce cas: sinc sin(x)/x

Trou éliminable — les deux côtés s'accordent, f(a) manque. Les deux branches visent la même hauteur ; seul le point lui-même est retiré. Les limites à gauche et à droite sont égales et finies, mais f(a) n'est pas définie. Remplacer x par a donne 0/0, et aucun facteur ne se simplifie. — Les deux branches visent la même hauteur ; seul le point lui-même est retiré.

0/0 qui se simplifie — factorisez avant de conclure

Ce que vous savez: Remplacer x par a donne 0/0, et le numérateur et le dénominateur ont le facteur (x − a) en commun.

Test: 0/0 → ÷(x − a)

Exemple résolu: f(x) = (x² − 1)/(x − 1) en a = 1 → (x − 1)(x + 1)/(x − 1) = x + 1 → limite = 2

Ouvrir ce cas: 0/0 à simplifier

0/0 qui se simplifie — factorisez avant de conclure. Après simplification, la courbe est la droite y = x + 1 privée d'un point. Remplacer x par a donne 0/0, et le numérateur et le dénominateur ont le facteur (x − a) en commun. — Après simplification, la courbe est la droite y = x + 1 privée d'un point.

Saut — les deux côtés se contredisent

Ce que vous savez: Les deux limites latérales sont finies mais différentes. La courbe passe d'un niveau à l'autre en a.

Test: L⁻ ≠ L⁺

Exemple résolu: f(x) = |x|/x en a = 0 → limite à gauche = −1, limite à droite = +1 → la limite n'existe pas

Ouvrir ce cas: Saut |x|/x

Saut — les deux côtés se contredisent. Deux branches plates à des hauteurs différentes : les côtés divergent. Les deux limites latérales sont finies mais différentes. La courbe passe d'un niveau à l'autre en a. — Deux branches plates à des hauteurs différentes : les côtés divergent.

Infinie — les valeurs sortent de l'échelle

Ce que vous savez: Au moins un côté croît sans borne. Remplacer x par a donne un nombre non nul divisé par zéro : il y a une asymptote verticale en x = a.

Test: f → ±∞ at x = a

Exemple résolu: f(x) = 1/x en a = 0 → à gauche → −∞ et à droite → +∞ → pas de limite finie

Ouvrir ce cas: Infini 1/x

Infinie — les valeurs sortent de l'échelle. Les deux branches fuient le long de l'asymptote verticale x = a. Au moins un côté croît sans borne. Remplacer x par a donne un nombre non nul divisé par zéro : il y a une asymptote verticale en x = a. — Les deux branches fuient le long de l'asymptote verticale x = a.

Oscillation — les valeurs ne se stabilisent jamais

Ce que vous savez: La fonction reste bornée mais balaie sans cesse le même intervalle, aussi près de a que vous regardiez.

Test: ∄L, |f| ≤ 1

Exemple résolu: f(x) = sin(1/x) en a = 0 → entre x = 0,001 et x = 0,002 la courbe effectue environ 80 cycles complets et atteint toutes les valeurs de [−1, 1]

Ouvrir ce cas: Oscillation sin(1/x)

Oscillation — les valeurs ne se stabilisent jamais. L'oscillation s'accélère, elle ne s'amortit pas, quand x tend vers 0. La fonction reste bornée mais balaie sans cesse le même intervalle, aussi près de a que vous regardiez. — L'oscillation s'accélère, elle ne s'amortit pas, quand x tend vers 0.

Problèmes entièrement résolus

Une forme 0/0 à factoriser 3 étapes
Calculez la limite de (x² − 9)/(x − 3) lorsque x → 3.

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1. Remplacez d’abord x par 3. Vous obtenez 0/0 : il faut transformer l’expression.
  
  $\frac{3 ^{2} - 9}{3 - 3} = \frac{0}{0}$
2. Le numérateur est une différence de carrés. Sa factorisation fait apparaître le même facteur qu’au dénominateur. Simplifiez-le : pour calculer la limite, vous n’avez pas besoin de la valeur en x = 3.
  
  $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3 (x \neq = 3)$
3. L’expression obtenue est continue en 3. Vous pouvez maintenant remplacer x par 3 :
  
  $x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x \to 3 lim (x + 3) = 6$
Réponse

La limite vaut 6. La fonction n’est pourtant pas définie en 3. La page affiche les deux informations : une limite de 6 et une valeur en a non définie.
Une forme 0/0 avec une racine carrée 3 étapes
Calculez la limite de (√(x + 4) − 2)/x lorsque x → 0.

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1. Remplacez x par 0 : vous obtenez encore 0/0.
  
  $\frac{0 + 4 - 2}{0} = \frac{0}{0}$
2. Aucune factorisation ne se présente directement. Multipliez le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée √(x + 4) + 2. Le numérateur devient une différence de carrés ; vous pouvez alors simplifier par x :
  
  $\frac{x + 4 - 2}{x} \cdot \frac{x + 4 + 2}{x + 4 + 2} = \frac{( x + 4 ) - 4}{x ( x + 4 + 2 )} = \frac{1}{x + 4 + 2}$
3. Remplacez maintenant x par 0 :
  
  $x \to 0 lim \frac{1}{x + 4 + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$
Réponse

La limite vaut ¼. Sur la page, les valeurs de la colonne de gauche tendent vers 0,25 par valeurs supérieures, celles de droite par valeurs inférieures.
sin 3x sur x 3 étapes
Calculez la limite de sin(3x)/x lorsque x → 0.

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1. Pour retrouver la limite usuelle, il faut la même expression dans le sinus et au dénominateur. Multipliez et divisez par 3 :
  
  $\frac{sin 3 x}{x} = 3 \cdot \frac{sin 3 x}{3 x}$
2. Lorsque x → 0, u = 3x tend aussi vers 0. Vous pouvez donc appliquer la limite usuelle à u :
  
  $u = 3 x \to 0 : \frac{sin u}{u} \to 1$
3. Vous obtenez :
  
  $x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{x} = 3 \cdot 1 = 3$
Réponse

La limite vaut 3. Le même procédé donne sin(kx)/x → k pour toute constante k non nulle.
1 − cos x sur x² : quand les chiffres se perdent 3 étapes
Calculez la limite de (1 − cos x)/x² lorsque x → 0 et expliquez pourquoi la dernière ligne du tableau affiche 0.

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1. Multipliez le numérateur et le dénominateur par 1 + cos x, puis utilisez 1 − cos²x = sin²x :
  
  $\frac{1 - cos x}{x ^{2}} \cdot \frac{1 + cos x}{1 + cos x} = \frac{1 - cos ^{2} x}{x ^{2} ( 1 + cos x )} = \frac{sin ^{2} x}{x ^{2}} \cdot \frac{1}{1 + cos x}$
2. Chaque facteur a maintenant une limite connue :
  
  $x \to 0 lim (\frac{sin x}{x})^{2} \cdot \frac{1}{1 + cos x} = 1^{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
3. En x = 10⁻⁸, l’écart entre cos x et 1 vaut 5 × 10⁻¹⁷. C’est moins de la moitié de l’écart entre 1 et le nombre représentable par l’ordinateur immédiatement inférieur à 1. Le calcul de cos x donne donc exactement 1, et le numérateur exactement 0 :
  
  $x = 1 0^{- 8} : cos x = 1 - 5 \times 1 0^{- 17} \Rightarrow fl (cos x) = 1, 1 - fl (cos x) = 0$
Réponse

La limite vaut ½. Le tableau affiche 0,500000 jusqu’à x = 10⁻⁵, puis les valeurs dérivent en 10⁻⁶ et 10⁻⁷, avant de tomber à 0 en 10⁻⁸. La page estime la limite à partir des lignes les plus stables et affiche 0,5.
Un saut entre les limites à gauche et à droite 2 étapes
Calculez les limites à gauche et à droite de |x − 2|/(x − 2) en x = 2, puis déterminez si la limite existe.

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1. Écrivez l’expression sans valeur absolue de chaque côté de 2 :
  
  $x < 2 : ∣ x - 2∣ = - (x - 2) \Rightarrow \frac{∣ x - 2∣}{x - 2} = - 1; x > 2 : \frac{∣ x - 2∣}{x - 2} = 1$
2. Les deux côtés donnent des valeurs différentes :
  
  $x \to 2^{-} lim f (x) = - 1 \neq = 1 = x \to 2^{+} lim f (x)$
Réponse

La limite à gauche vaut −1, la limite à droite vaut 1 : la limite n’existe pas. Aucun choix de f(2) ne peut rendre la fonction continue en ce point. C’est une discontinuité par saut.
Limites infinies et signes contraires 3 étapes
Décrivez le comportement de 1/(x − 1)² lorsque x → 1, puis comparez-le à celui de 1/(x − 1).

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1. En remplaçant x par 1, vous obtenez un nombre divisé par 0. La limite ne peut pas être finie ; il reste à déterminer le signe de la divergence.
  
  $\frac{1}{( 1 - 1 ) ^{2}} = \frac{1}{0}$
2. Le carré est positif des deux côtés et tend vers 0. Le quotient croît donc des deux côtés ; à une distance de 10⁻³, il vaut déjà un million :
  
  $(x - 1)^{2} > 0 (x \neq = 1), x = 1 \pm 1 0^{- 3} : \frac{1}{1 0 ^{- 6}} = 1 0^{6}$
3. Les deux côtés tendent vers +∞ : la limite s’écrit donc +∞. Sans le carré, x − 1 change de signe en 1 et les deux côtés divergent en sens opposés :
  
  $x \to 1 lim \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}} = + \infty; x \to 1^{\mp} lim \frac{1}{x - 1} = \mp \infty$
Réponse

1/(x − 1)² → +∞ des deux côtés ; 1/(x − 1) tend vers −∞ à gauche et vers +∞ à droite, sans avoir de limite, même infinie. Aucune des deux fonctions n’est définie en 1 ; aucune n’y est donc continue.
Le théorème des gendarmes 3 étapes
Calculez la limite de x² sin(1/x) lorsque x → 0.

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1. Au voisinage de 0, sin(1/x) oscille indéfiniment et n’a pas de limite. Vous ne pouvez donc pas calculer la limite du produit comme un produit de limites. Vous disposez toutefois d’un encadrement :
  
  $- 1 \leq sin \frac{1}{x} \leq 1 (x \neq = 0)$
2. Multipliez chaque membre par x², qui est toujours positif ou nul :
  
  $- x^{2} \leq x^{2} sin \frac{1}{x} \leq x^{2}$
3. Les deux bornes tendent vers 0. La fonction qu’elles encadrent tend donc aussi vers 0 :
  
  $x \to 0 lim (- x^{2}) = x \to 0 lim x^{2} = 0 \Rightarrow x \to 0 lim x^{2} sin \frac{1}{x} = 0$
Réponse

La limite vaut 0. Les oscillations deviennent infiniment rapides, mais leur amplitude tend vers 0.
Choisir une constante pour assurer la continuité 2 étapes
f(x) = kx + 1 pour x < 2 et f(x) = x² pour x ≥ 2. Déterminez k pour que f soit continue en 2.
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1. Pour que f soit continue en 2, les limites à gauche et à droite doivent toutes deux être égales à f(2). La limite à droite et la valeur de la fonction valent 4 :
  
  $x \to 2^{-} lim (k x + 1) = 2 k + 1, x \to 2^{+} lim x^{2} = 4 = f (2)$
2. Imposez cette même valeur à la limite à gauche :
  
  $2 k + 1 = 4 \Rightarrow k = \frac{3}{2}$
Réponse

k = 3/2. Pour toute autre valeur de k, la courbe présente un saut en 2.
Une limite à l’infini 2 étapes
Calculez la limite de (3x² + 1)/(2x² − x) lorsque x → ∞.
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1. Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de x présente au dénominateur, x² :
  
  $\frac{3 x ^{2} + 1}{2 x ^{2} - x} = \frac{3 + \frac{1}{x ^{2}}}{2 - \frac{1}{x}}$
2. Tous les termes où x figure au dénominateur tendent vers 0 :
  
  $\frac{1}{x} \to 0, \frac{1}{x ^{2}} \to 0 \Rightarrow x \to \infty lim \frac{3 x ^{2} + 1}{2 x ^{2} - x} = \frac{3}{2}$
Réponse

La limite vaut 3/2, le rapport des coefficients dominants. La courbe admet l’asymptote horizontale y = 3/2.
Démontrer sin x / x → 1 avec un δ pour chaque ε 5 étapes
Démontrez que sin x / x → 1 en donnant un δ pour chaque ε, puis prévoyez les valeurs des deux lignes exploitables du tableau avant de les consulter. Il s’agit ici de f(x) = sin(x)/x lorsque x → 0.

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1. Vous pouvez diviser la série du sinus par x pour tout x ≠ 0, ce qui suffit pour étudier la limite. L’expression obtenue ne contient que des puissances paires de x. C’est pourquoi les colonnes de gauche et de droite affichent exactement les mêmes chiffres à chaque ligne.
  
  $\frac{sin x}{x} = \frac{1}{x} (x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} - \dots) = 1 - \frac{x ^{2}}{6} + \frac{x ^{4}}{120} - \dots$
2. Deux termes suffisent ici : le terme en x⁴ ne vaut déjà plus que 8,33 × 10⁻⁷, trop peu pour modifier la sixième décimale.
  
  $x = \pm 0.1 : 1 - \frac{1 0 ^{- 2}}{6} + \frac{1 0 ^{- 4}}{120} - \dots = 1 - 1.666667 \times 1 0^{- 3} + 8.33 \times 1 0^{- 7} = 0.998334$
3. Divisez la distance par dix : l’écart à 1 est divisé par cent. Cet écart décroît comme le carré de x, ce qui est bien plus précis que “la limite vaut 1”. Les deux lignes du tableau suffisent à le constater.
  
  $x = \pm 0.01 : 0.999983, \frac{1 - f ( 0.1 )}{1 - f ( 0.01 )} = \frac{1.665834 \times 1 0 ^{- 3}}{1.666658 \times 1 0 ^{- 5}} = 99.95$
4. La preuve exige une majoration de tout le reste de la série. Pour |x| ≤ 1, la série est alternée et ses termes décroissent en valeur absolue. L’écart à 1 est donc inférieur en valeur absolue au premier terme omis, x²/6. En résolvant l’inégalité par rapport à x, vous obtenez directement une formule pour δ.
  
  $\frac{sin x}{x} - 1 \leq \frac{x ^{2}}{6} (∣ x ∣ \leq 1) ⟹ δ (ε) = 6 ε (ε \leq \frac{1}{6})$
5. La racine carrée impose son rythme : pour diviser ε par un million, il faut diviser x par mille.
  
  $ε = 1 0^{- 6} \Rightarrow δ = 2.449 \times 1 0^{- 3}; ε = 1 0^{- 12} \Rightarrow δ = 2.449 \times 1 0^{- 6}$
Réponse

Le tableau affiche 0,998334 en x = 0,1 et 0,999983 en x = 0,01. Ces deux valeurs ont été calculées ici à partir de quatre termes d’une série, avant toute consultation du tableau. La formule δ = √(6ε) apporte une garantie : quelle que soit la tolérance choisie, une racine carrée suffit pour déterminer une distance qui la respecte. Vous pouvez donc poursuivre le zoom sans craindre de surprise. Ce calcul explique aussi pourquoi le tableau épuise vite sa précision d’affichage. À chaque ligne, x est divisé par dix et l’écart par cent. Dès la troisième ligne, cet écart n’est plus que de 1,6667 × 10⁻⁷, soit moins d’une demi-unité à la sixième décimale. Cette ligne et les cinq suivantes affichent donc toutes 1,000000, alors que la valeur en x = 0,001 est 0,99999983. Conservez l’écart : en divisant celui de la première ligne, 1,665834 × 10⁻³, par 0,01, vous obtenez 0,16658, une approximation de 1/6. Une seconde limite se dessine sous la limite bien connue ; la série l’avait annoncée.

$δ (ε) = 6 ε, x \to 0 lim \frac{1 - \frac{s i n x}{x}}{x ^{2}} = \frac{1}{6}$

Parcours

Pourquoi tout semble droit de près

Références (1)

When “heading towards” stopped being a way of speaking and became something you can check: J. V. Grabiner, "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus", in Who Gave You the Epsilon? And Other Tales of Mathematical History, 5–13. Mathematical Association of America, 2009.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.