Tegemist on masintõlkega; algupärane artikkel on inglise keeles. Loe originaali
Viiskümmend põlvkonda täiuslikku valikut poolitab retsessiivse geeni sageduse, ja see on parim juhtum
Geen, mida kannab üks inimene kahekümne viiest ja mis põhjustab seisundit ühel inimesel kahe ja poole tuhande seas. Rakendage tugevaimat võimalikku valikusurvet 1250 aasta vältel, ning seda kannab ikka veel üks inimene viiekümnest.
Võtame retsessiivse alleeli sagedusega 2%. Umbes üks inimene kahekümne viiest kannab ühte koopiat ja on täiesti terve; ligikaudu üks 2500-st pärib kaks koopiat ning tal avaldub see seisund.
Nüüd rakendage valikut sellise karmusega, mida ükski tegelik populatsioon pole kunagi kogenud: iga kahe koopiaga indiviid jätab järglased saamata, igas põlvkonnas, ilma ühegi erandita. Mitte vähenenud viljakus — null. Laske sellel kesta viiskümmend põlvkonda, mis inimeste puhul on veidi üle tuhande aasta.
Seadke Hardy–Weinberg paneelil p = 0,98, kohasuseks w(aa) = 0 ja kestuseks viiskümmend põlvkonda. Alleeli sagedus lõpus on 0,010.
Poolitatud. See on kogu tulemus aastatuhande pikkusest tugevaimast valikusurvest, mida matemaatika võimaldab.
Kus koopiad end peidavad
Põhjuseks on kahelauseline arutluskäik arvepidamisest.
Valik saab toimida vaid sellele, mida ta näeb, ja see, mida ta näeb, on kahe koopiaga indiviidid. Kui alleeli sagedus on q = 0,02, annab paneel kandjate sageduseks 2pq väärtuse 0,039 — umbes 3,9% elanikkonnast kõnnib ringi täpselt ühe koopiaga. Haigestunute osakaal on q², mis on 0,0004 ehk 0,04%; paneel ümardab selle rea kolme komakohani ja kuvab 0,000, mis on omaette kommentaar selle nähtuse ulatuse kohta, millest valikult haaramist oodatakse.
Loendage inimeste asemel alleele. Kandjatel on igaühel üks koopia, haigestunud indiviididel kaks. Nii asub igast 100 alleeli koopiast populatsioonis 98 kandjates, kus valik nendeni ei ulatu, ning 2 haigestunud indiviidides, kus see on võimalik. Iga haigestunud indiviidi eemaldamine eemaldab 2% koopiatest. Ja 2% on täpselt q. Mida väiksemaks q muutub, seda väiksem osa sellest on avatud.
See annab kahanemiskiiruse vahetult kätte. Täieliku valiku korral retsessiivse alleeli vastu on sagedus pärast t põlvkonda
qt = q₀ / (1 + t·q₀)
mis ei ole eksponentsiaalne kahanemine. See on hüperbool, ja hüperboolidel on pikad sabad. Alustades väärtusest 0,02, on poolitumisaeg 1/q₀ = 50 põlvkonda. Uus poolitamine võtab veel 100. Sellest järgmine võtab 200. Iga poolitamine nõuab eelmisega võrreldes topeltaja, mistõttu alleel läheneb nullile, kuid ei jõua sinna tegelikkuses kunagi. Võrrelge seda eksponentsiaalse kahanemisega, mis on tuttav radioaktiivsest lagunemisest, kus iga poolestusaeg on sama pikk: siin poolestusaeg iga korraga kahekordistub, sest peidupaik muutub proportsionaalselt suuremaks, mida haruldasemaks alleel jääb.
Seadke p = 0,5, nii et q algab väärtuselt 0,500, jätke samaks letaalne kohasus ja samad viiskümmend põlvkonda, ning paneel lõpetab väärtusel p = 0,981: q on langenud 0,500-lt 0,019-le ehk kahekümne kuue kordselt. Haruldane alleel suutis samasuguse tsükli jooksul saavutada vaid kahekordse kahanemise. Just nimelt haruldased alleelid, need, mis on seotud raskete haigustega, on peaaegu täielikult kaitstud.
Mille see lahendas
Sellel tasakaalutulemusel on ebatavaline algupära. 1908. aastal vaidles geneetik Reginald Punnett statistik George Udny Yule'iga, kes oli väitnud, et dominantne tunnus levib vääramatult läbi populatsiooni, kuni kolmveerandil sellest on see tunnus. Punnett ei suutnud algebra abil seda ümber lükata, mistõttu pöördus ta oma kriketipartneri, Cambridge'i puhta matemaatiku G. H. Hardy poole.
Hardy vastus ajakirjale Science hõlmab vaevalt kaks lehekülge ning algab vabandusega teema triviaalsuse pärast. Ta näitab, et juhusliku ristumise korral taastoodavad genotüüpide sagedused p², 2pq ja q² end igas järgnevas põlvkonnas muutumatult: miski ei levi, miski ei kahane, sagedused lihtsalt püsivad. Wilhelm Weinberg oli sama tulemuse saksa keeles avaldanud mõni kuu varem, mistõttu seadus kannab nüüd mõlema mehe nime.
Hardy pidas seda oma huvidele mittevastavaks — ta kirjutas hiljem, et polnud kunagi teinud midagi kasulikku —, ometi sai sellest populatsioonigeneetika alusvõrrand. See on ühtlasi põhjus, miks ülaltoodud arvud pole pelk arvamus. Kui on teada, et alleelisagedused on vaikimisi stabiilsed, on valiku mõju arvutatav, ja see arvutus näitab, et haigestunute eemaldamine eemaldab geenifondist osa, mis võrdub alleeli enda sagedusega.
Sel tulemusel oli omal ajal konkreetne sihtmärk. Kahekümnenda sajandi esimese poole sundsteriliseerimise programme õigustati selgesõnalise lubadusega kaotada pärilikud haigused mõne põlvkonna jooksul. Sellel lehel toodud aritmeetika oli juba avaldatud, juba lihtne ning ütleb selgelt, et see lubadus oli aritmeetiliselt võimatu: mis tahes haruldase retsessiivse alleeli koopiatest asub rõhuv enamus tervetes kandjates, olles nähtamatu igasugusele valikusüsteemile, mis lähtub vaid haiguse avaldumisest. Need programmid olid koletud põhjustel, millel pole matemaatikaga mingit pistmist. Kuid lisaks ei saanud need ka omaenda seatud tingimustel mitte kunagi toimida.
Tänapäevane tõlgendus
Sama aritmeetika kehtib ka edasisuunas, ja just seepärast eksisteerib kandluse sõeluuring diagnoosimisest eraldiseisva mõistena.
Kui teate haigestunute sagedust, saate sellest tuletada kandjate sageduse, sest q = √(q²) ja kandjad on 2pq. Üks haigestunu 10 000 kohta tähendab, et q = 0,01 ja kandjaid on umbes 1 inimene 50-st. Üks haigestunu miljonist tähendab ikkagi, et q = 0,001 ja seda kannab ligikaudu 1 inimene 500-st. Igaüks meist kannab käputäit alleele, mis kahekordses annuses oleksid raskete tagajärgedega; need on nähtamatud, sest tõenäosus kohata samasuguse alleeliga partnerit on väike. Veresugulus tõstab riski mitte midagi uut luues, vaid tõstes täpselt sedasama kokkulangevuse tõenäosust.
Ja see püsimine pole alati puudus, mida peaks kahetsema. Mõned heterosügoodid on suurema kohasusega kui kumbki homosügoot — sirprakulise aneemia alleeli pakutav kaitse malaaria vastu on selle tüüpiline näide — ning eelhäälestus Overdominance näitab, milleni see viib. See algab väärtuselt p = 0,200, kus heterosügoot on suurima kohasusega, w(AA) = 0,90 võrreldes w(aa) = 0,80-ga, ning pärast 120 põlvkonda stabiliseerub see tasemel p = 0,667. See ei ole koht, kuhu simulatsioon juhuslikult sattus: tasakaalupunkt on (1 − waa) ÷ [(1 − wAA) + (1 − waa)] = 0,20 ÷ 0,30, täpselt kaks kolmandikku. Valik hoiab alleeli paigal, mitte ei kõrvalda seda, ja haigusseisund on selle kaitse hind.
Üks hoiatus kõige eelneva kohta, ja paneel edastab selle omaenda sõnadega: see mudel ei veereta kunagi täringut. See hoiab väärtust p = 0,500 täpselt viiskümmend põlvkonda ning joonistab iga kord identse kõvera, sest selles puudub igasugune juhuslikkus. Tegelikud populatsioonid on lõplikud, seega nihutab ainuüksi juhus igas põlvkonnas sagedusi — geneetiline triiv — ning väikeses populatsioonis võib triiv kaotada alleeli, milleni valik ei ulatuks kunagi. Populatsiooni lõpmatu suurus on siin eeldus, mis teeb ära suurima töö, ja see on esimene, mille tegelikkus purustab.