Esta es una traducción automática; el texto original en inglés es la versión de referencia. Leer el original
Cincuenta generaciones de selección perfecta reducen un gen recesivo a la mitad, y ese es el mejor de los casos
Un gen que porta una de cada veinticinco personas y que causa una afección en una de cada dos mil quinientas. Aplíquese la presión de selección más intensa posible durante 1.250 años: todavía lo portará una de cada cincuenta personas.
Tomemos un alelo recesivo con una frecuencia del 2%. Aproximadamente una de cada veinticinco personas porta una sola copia y no presenta afección alguna; alrededor de una de cada 2.500 hereda dos copias y padece la afección.
Apliquemos ahora una selección de una severidad que ninguna población real ha experimentado jamás: ningún individuo con dos copias logra reproducirse, en ninguna generación y sin excepción. No una fertilidad reducida: cero. Mantengámoslo durante cincuenta generaciones, lo que en los seres humanos equivale a algo más de mil años.
Ajustemos el panel de Hardy–Weinberg a p = 0,98 con una eficacia biológica w(aa) = 0 y cincuenta generaciones. La frecuencia alélica al final es de 0,010.
Reducida a la mitad. Ese es todo el rendimiento obtenido tras un milenio de la presión selectiva más rigurosa que permiten las matemáticas.
Dónde se esconden las copias
La razón radica en un argumento de contabilidad de apenas dos líneas.
La selección solo puede actuar sobre lo que puede ver, y lo que puede ver son los individuos con dos copias. Con el alelo en q = 0,02, el panel sitúa la frecuencia de portadores 2pq en 0,039: cerca de un 3,9% de la población camina con exactamente una copia. La fracción afectada es q², que equivale a 0,0004 o un 0,04%; el panel redondea esa fila a tres decimales y muestra 0,000, lo que constituye un elocuente comentario sobre la escala de aquello sobre lo que se pide actuar a la selección.
Contemos los alelos en lugar de las personas. Los portadores albergan una copia cada uno; los individuos afectados, dos. Así, de cada 100 copias del alelo en la población, 98 se encuentran en portadores donde la selección no puede alcanzarlas, y 2 están en individuos afectados donde sí puede. Eliminar a todos los individuos afectados retira el 2% de las copias. Y el 2% es exactamente q. Cuanto menor se vuelve q, menor es la fracción de este que queda expuesta.
Eso proporciona el ritmo de forma directa. Bajo una selección completa contra el recesivo, la frecuencia tras t generaciones es
qt = q₀ / (1 + t·q₀)
lo cual no es un decaimiento exponencial. Es una hipérbola, y las hipérbolas tienen colas largas. Empezando en 0,02, el tiempo necesario para reducirse a la mitad es 1/q₀ = 50 generaciones. Reducirse a la mitad otra vez requiere otras 100. La siguiente requiere 200. Cada reducción a la mitad cuesta el doble que la anterior, por lo que el alelo se aproxima a cero sin llegar jamás de forma apreciable. Comparémoslo con el decaimiento exponencial familiar de la desintegración radiactiva, donde cada periodo de semidesintegración tiene la misma duración: aquí el tiempo de semirreducción se duplica cada vez, porque el escondite se hace proporcionalmente mayor a medida que el alelo se vuelve más escaso.
Ajustemos p = 0,5, de modo que q comience en 0,500, mantengamos la misma eficacia letal y las mismas cincuenta generaciones, y el panel terminará en p = 0,981: q ha caído de 0,500 a 0,019, una reducción de veintiséis veces. El alelo infrecuente apenas logró reducirse a la mitad en un recorrido idéntico. Son precisamente los alelos raros, aquellos asociados a enfermedades graves, los que se hallan protegidos de forma casi perfecta.
Qué resolvió esto
El resultado sobre el equilibrio tiene un origen singular. En 1908, el genetista Reginald Punnett debatía con el estadístico George Udny Yule, quien había afirmado que un rasgo dominante se propagaría inexorablemente por una población hasta afectar a tres cuartas partes de ella. Incapaz de construir la refutación algebraica, Punnett acudió a su compañero de críquet, el matemático puro de Cambridge G. H. Hardy.
La respuesta de Hardy a Science apenas ocupa dos páginas y comienza disculpándose por la trivialidad de la cuestión. Demuestra que, con un apareamiento aleatorio, las proporciones genotípicas p², 2pq y q² se reproducen inalteradas en cada generación sucesiva: nada se expande, nada mengua; las frecuencias sencillamente permanecen. Wilhelm Weinberg había publicado el mismo resultado en alemán meses antes, motivo por el cual la ley lleva hoy ambos nombres.
Hardy lo consideró indigno de su interés —más tarde escribió que nunca había hecho nada útil— y, sin embargo, se convirtió en la ecuación fundacional de la genética de poblaciones. Es asimismo la razón por la que los números anteriores no constituyen una opinión. Una vez sabido que las frecuencias alélicas son estables por defecto, el efecto de la selección resulta calculable, y el cálculo indica que eliminar a los afectados sustrae del acervo genético una proporción igual a la frecuencia del propio alelo.
Aquel resultado tuvo un destinatario claro en su momento. Los programas de esterilización forzosa de la primera mitad del siglo XX se justificaron bajo la promesa explícita de erradicar afecciones hereditarias en el plazo de unas pocas generaciones. La aritmética expuesta en esta página ya estaba publicada, ya era sencilla y demostraba que tal promesa era aritméticamente inviable: la abrumadora mayoría de las copias de cualquier alelo recesivo raro se halla en portadores sanos, invisibles para cualquier mecanismo selectivo que actúe sobre los afectados. Dichos programas fueron monstruosos por razones ajenas a las matemáticas. Fueron también, bajo sus propios términos declarados, algo que jamás iba a funcionar.
La lectura moderna
La misma aritmética funciona hacia adelante, y explica por qué el cribado de portadores existe como un concepto independiente del diagnóstico.
Si se conoce la frecuencia de afectados, es posible deducir la frecuencia de portadores, puesto que q = √(q²) y los portadores son 2pq. Uno de cada 10.000 afectados significa q = 0,01 y aproximadamente 1 portador de cada 50. Uno de cada un millón de afectados sigue significando q = 0,001 y cerca de 1 de cada 500 personas portadoras. Cada uno de nosotros alberga un puñado de alelos que resultarían graves en doble dosis; permanecen invisibles porque la probabilidad de coincidir con una pareja que porte los mismos es baja. La consanguinidad eleva el riesgo, no por generar nada nuevo, sino por incrementar con exactitud esa probabilidad de coincidencia.
Y esta persistencia no siempre constituye un inconveniente lamentable. Ciertos heterocigotos poseen una eficacia biológica superior a la de cualquiera de los homocigotos —la protección del alelo falciforme frente a la malaria es el ejemplo paradigmático—, y la opción predeterminada Overdominance ilustra sus efectos. Comienza en p = 0,200 con el heterocigoto como el más apto, w(AA) = 0,90 frente a w(aa) = 0,80, y tras 120 generaciones se estabiliza en p = 0,667. No se trata de un valor alcanzado por azar en la simulación: el punto de equilibrio es (1 − waa) ÷ [(1 − wAA) + (1 − waa)] = 0,20 ÷ 0,30, exactamente dos tercios. La selección fija el alelo en su lugar en vez de eliminarlo, y la afección es el precio que se paga por la protección.
Conviene hacer una advertencia sobre todo lo expuesto, advertencia que el propio panel formula con sus palabras: este modelo no tira los dados jamás. Mantiene p = 0,500 durante exactamente cincuenta generaciones y traza una curva idéntica cada vez, porque carece por completo de azar. Las poblaciones reales son finitas, de modo que el azar por sí solo altera las frecuencias en cada generación —la deriva genética—, y en una población reducida la deriva puede hacer desaparecer un alelo que la selección nunca podría haber alcanzado. Un tamaño poblacional infinito es el supuesto sobre el que descansa todo el modelo, y es también el primero que la realidad desmiente.