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Fünfzig Generationen perfekter Selektion halbieren ein rezessives Gen, und das ist der günstigste Fall

42Math team · 25 June 2026

Ein Gen, das von einer von fünfundzwanzig Personen getragen wird und bei einer von zweieinhalbtausend eine Krankheit verursacht. Übt man 1.250 Jahre lang den stärksten Selektionsdruck aus, der existieren kann, wird es noch immer von einer von fünfzig Personen getragen.

Betrachten wir ein rezessives Allel mit einer Häufigkeit von 2 %. Etwa eine von fünfundzwanzig Personen trägt eine einzelne Kopie und ist völlig unbeeinträchtigt; ungefähr eine von 2.500 erbt zwei Kopien und weist die Erbkrankheit auf.

Nun wenden wir eine Selektion von einer Schärfe an, wie sie keine reale Population je erlebt hat: Jedes Individuum mit zwei Kopien pflanzt sich nicht fort, in jeder Generation, ohne Ausnahme. Keine verringerte Fruchtbarkeit – null. Lassen wir dies über fünfzig Generationen laufen, was beim Menschen etwas mehr als tausend Jahre sind.

Stellen Sie das Panel für Hardy–Weinberg auf p = 0,98 mit der Fitness w(aa) = 0 und fünfzig Generationen ein. Die Allelhäufigkeit am Ende beträgt 0,010.

Halbiert. Das ist der gesamte Ertrag eines Jahrtausends des stärksten Selektionsdrucks, den die Mathematik zulässt.

Wo sich die Kopien verbergen

Der Grund ist eine zweizeilige Bilanzierungsüberlegung, und sie ist das Einzige, was Sie brauchen.

Die Selektion kann nur ansetzen an dem, was sie sieht, und was sie sieht, sind die Individuen mit zwei Kopien. Bei einer Allelhäufigkeit von q = 0,02 gibt das Panel die Anlageträgerhäufigkeit 2pq mit 0,039 an – etwa 3,9 % der Population laufen mit genau einer Kopie umher. Der betroffene Anteil ist q², was 0,0004 oder 0,04 % entspricht; das Panel rundet diese Zeile auf drei Nachkommastellen und gibt 0,000 aus, was ein eigener Kommentar zum Ausmaß dessen ist, was die Selektion zu greifen versucht.

Zählen wir die Allele statt der Personen. Anlageträger besitzen jeweils eine Kopie, betroffene Individuen zwei. Von je 100 Kopien des Allels in der Population befinden sich also 98 in Anlageträgern, wo die Selektion sie nicht erreichen kann, und 2 in betroffenen Individuen, wo sie es kann. Das Entfernen jedes betroffenen Individuums entfernt 2 % der Kopien – und 2 % ist genau q. Je kleiner q wird, desto kleiner wird der freiliegende Anteil davon.

Das ergibt die Rate direkt. Unter vollständiger Selektion gegen das rezessive Allel beträgt die Häufigkeit nach t Generationen

q_t = q₀ / (1 + t·q₀)

was kein exponentieller Zerfall ist. Es ist eine Hyperbel, und Hyperbeln haben lange Ausläufer. Ausgehend von 0,02 beträgt die Zeit bis zur Halbierung 1/q₀ = 50 Generationen. Eine erneute Halbierung dauert weitere 100. Die darauffolgende benötigt 200. Jede Halbierung kostet das Doppelte der vorherigen, sodass sich das Allel der Null annähert und sie praktisch nie erreicht. Vergleichen Sie dies mit dem exponentiellen Zerfall, der vom radioaktiven Zerfall bekannt ist, wo jede Halbwertszeit gleich lang ist: Hier verdoppelt sich die Halbwertszeit jedes Mal, weil das Versteck proportional größer wird, je seltener das Allel wird.

Der Kontrast zu einem häufigen Allel ist eklatant. Stellen Sie p = 0,5 ein, sodass q bei 0,500 beginnt, behalten Sie dieselbe letale Fitness und dieselben fünfzig Generationen bei, und das Panel endet bei p = 0,981 – q ist von 0,500 auf 0,019 gefallen, eine sechsundzwanzigfache Reduktion. Das seltene Allel schaffte über einen identischen Durchlauf eine zweifache. Es sind genau die seltenen Allele, diejenigen, die mit schweren Krankheiten assoziiert sind, die fast perfekt geschützt sind.

Was dies klärte

Das Gleichgewichtsergebnis hat einen ungewöhnlichen Ursprung. Im Jahr 1908 stritt der Genetiker Reginald Punnett mit dem Statistiker George Udny Yule, der behauptet hatte, dass sich ein dominantes Merkmal unaufhaltsam in einer Population ausbreiten würde, bis drei Viertel davon betroffen wären. Punnett konnte die algebraische Widerlegung nicht konstruieren, weshalb er seinen Cricket-Partner bat, den reinen Mathematiker G. H. Hardy aus Cambridge.

Hardys Antwort an Science umfasst kaum zwei Seiten und beginnt mit einer Entschuldigung für die Trivialität des Punkts. Er zeigt, dass sich die Genotyp-Proportionen p², 2pq und q² bei zufälliger Paarung in jeder folgenden Generation unverändert reproduzieren: Nichts breitet sich aus, nichts schrumpft, die Häufigkeiten bleiben einfach bestehen. Wilhelm Weinberg hatte dasselbe Ergebnis Monate zuvor auf Deutsch veröffentlicht, weshalb das Gesetz heute beide Namen trägt.

Hardy hielt es für unter seinem Niveau – er schrieb später, er habe nie etwas Nützliches getan –, und es wurde zur Gründungsgleichung der Populationsgenetik. Es ist auch der Grund dafür, dass die obigen Zahlen keine Ansichtssache sind. Sobald man weiß, dass Allelhäufigkeiten standardmäßig stabil sind, ist die Wirkung der Selektion berechenbar, und die Berechnung besagt, dass das Entfernen der Betroffenen einen Anteil am Genpool entfernt, der der Häufigkeit des Allels selbst entspricht.

Dieses Ergebnis hatte ein Ziel, als es neu war. Zwangssterilisationsprogramme in der ersten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts wurden mit dem expliziten Versprechen gerechtfertigt, erblich bedingte Krankheiten innerhalb weniger Generationen auszumerzen. Die Arithmetik auf dieser Seite war bereits veröffentlicht, bereits einfach und besagt, dass das Versprechen arithmetisch unmöglich war: Die überwältigende Mehrheit der Kopien jedes seltenen rezessiven Allels befindet sich in symptomfreien Anlageträgern, unsichtbar für jedes Selektionsschema, das darauf ansetzt, wer betroffen ist. Die Programme waren aus Gründen ungeheuerlich, die nichts mit Mathematik zu tun haben. Sie konnten auch nach ihren eigenen Bedingungen niemals funktionieren.

Die moderne Betrachtung

Dieselbe Arithmetik funktioniert auch vorwärts, und sie ist der Grund, warum Anlageträgerscreening als eigenständiges Konzept neben der Diagnose existiert.

Wenn man die Häufigkeit der Betroffenen kennt, kann man die Häufigkeit der Anlageträger ermitteln, denn q = √(q²) und Anlageträger entsprechen 2pq. Einer von 10.000 Betroffenen bedeutet q = 0,01 und Anlageträger etwa 1 von 50. Einer von einer Million Betroffenen bedeutet immer noch q = 0,001 und ungefähr 1 von 500 Personen als Träger. Jeder von uns trägt eine Handvoll Allele in sich, die in doppelter Dosis schwerwiegend wären; sie sind unsichtbar, weil die Wahrscheinlichkeit, einen passenden Partner zu treffen, gering ist. Inzucht erhöht das Risiko nicht dadurch, dass sie irgendetwas erzeugt, sondern indem sie genau diese Wahrscheinlichkeit einer Übereinstimmung erhöht.

Und das Fortbestehen ist nicht immer ein Mangel, den man bedauern müsste. Einige Heterozygote sind fitter als beide Homozygote – der Schutz des Sichelzellallels vor Malaria ist das Standardbeispiel – und die Voreinstellung Overdominance zeigt, was das bewirkt. Sie beginnt bei p = 0,200, wobei der Heterozygot am fittesten ist, w(AA) = 0,90 gegenüber w(aa) = 0,80, und pendelt sich nach 120 Generationen bei p = 0,667 ein. Das ist kein Zufallsprodukt der Simulation: Der Gleichgewichtspunkt liegt bei (1 − w_aa) ÷ [(1 − w_AA) + (1 − w_aa)] = 0,20 ÷ 0,30, also genau zwei Drittel. Die Selektion hält das Allel fest, anstatt es zu entfernen, und die Krankheit ist der Preis für den Schutz.

Eine Warnung zu all dem Gesagten, und das Panel drückt es in seinen eigenen Worten aus: Dieses Modell würfelt nie. Es hält p = 0,500 genau für fünfzig Generationen und verläuft jedes Mal entlang derselben Kurve, weil es keine Zufälligkeit enthält. Reale Populationen sind endlich, daher verschiebt der Zufall allein die Häufigkeiten in jeder Generation – genetische Drift – und in einer kleinen Population kann die Drift ein Allel verschwinden lassen, das die Selektion niemals erreichen könnte. Eine unendliche Populationsgröße ist die Annahme, die hier die meiste Arbeit leistet, und sie ist die erste, die an der Realität bricht.