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Fünfzig Generationen vollkommener Selektion halbieren ein rezessives Gen, und das ist der beste Fall

42Math team · 25 June 2026

Ein Gen, das von einer von fünfundzwanzig Personen getragen wird und bei einer von zweieinhalbtausend zu einer Erkrankung führt. Setzt man es 1.250 Jahre lang dem stärksten denkbaren Selektionsdruck aus, trägt es immer noch eine von fünfzig Personen.

Nehmen wir ein rezessives Allel mit einer Häufigkeit von 2%. Etwa eine von fünfundzwanzig Personen trägt eine einzelne Kopie und ist völlig gesund; rund eine von 2.500 erbt zwei Kopien und ist erkrankt.

Nun wenden wir eine Selektion von einer Schärfe an, wie sie keine reale Population je erlebt hat: Jedes Individuum mit zwei Kopien pflanzt sich nicht fort, in jeder Generation, ausnahmslos. Keine verringerte Fruchtbarkeit – null. Fünfzig Generationen lang, was beim Menschen etwas mehr als tausend Jahre sind.

Stellt man das Hardy–Weinberg-Panel auf p = 0,98 mit der Fitness w(aa) = 0 und fünfzig Generationen ein, beträgt die Allelfrequenz am Ende 0,010.

Halbiert. Das ist der gesamte Ertrag eines Jahrtausends unter dem stärksten Selektionsdruck, den die Mathematik erlaubt.

Wo sich die Kopien verbergen

Der Grund ist eine zwei Zeilen lange buchhalterische Überlegung.

Die Selektion kann nur an dem ansetzen, was sie sieht, und was sie sieht, sind die Individuen mit zwei Kopien. Bei einer Allelfrequenz von q = 0,02 gibt das Panel die Trägerfrequenz 2pq mit 0,039 an – etwa 3,9% der Population laufen mit genau einer Kopie umher. Der Anteil der Betroffenen beträgt q², also 0,0004 oder 0,04%; das Panel rundet diese Zeile auf drei Dezimalstellen und gibt 0,000 aus – ein ganz eigener Kommentar dazu, welche Größenordnung die Selektion hier zu fassen bekommen soll.

Zählt man die Allele statt der Personen: Träger besitzen je eine Kopie, betroffene Individuen zwei. Von je 100 Kopien des Allels in der Population befinden sich also 98 bei Trägern, wo die Selektion sie nicht erreichen kann, und 2 bei Betroffenen, wo sie erreichbar sind. Entfernt man jedes betroffene Individuum, entfernt man 2% der Kopien. Und 2% ist genau q. Je kleiner q wird, desto kleiner ist der Bruchteil davon, der exponiert ist.

Daraus ergibt sich die Rate direkt. Bei vollständiger Selektion gegen das rezessive Allel beträgt die Häufigkeit nach t Generationen

q_t = q₀ / (1 + t·q₀)

was kein exponentieller Zerfall ist. Es ist eine Hyperbel, und Hyperbeln haben lange Ausläufer. Ausgehend von 0,02 beträgt die Zeit bis zur Halbierung 1/q₀ = 50 Generationen. Eine erneute Halbierung dauert weitere 100. Die darauffolgende benötigt 200. Jede Halbierung kostet das Doppelte der vorangegangenen; das Allel nähert sich also der Null an und kommt dort praktisch nie an. Vergleicht man dies mit dem exponentiellen Zerfall, wie man ihn vom radioaktiven Zerfall kennt, bei dem jede Halbwertszeit gleich lang ist: Hier verdoppelt sich die Halbwertszeit jedes Mal, da das Versteck proportional größer wird, je seltener das Allel ist.

Setzt man p = 0,5, sodass q bei 0,500 beginnt, behält dieselbe letale Fitness und dieselben fünfzig Generationen bei, so endet das Panel bei p = 0,981: q ist von 0,500 auf 0,019 gefallen, eine sechsundzwanzigfache Verringerung. Das seltene Allel schaffte bei identischem Durchlauf nur eine zweifache. Gerade die seltenen Allele, jene, die mit schweren Erkrankungen einhergehen, sind nahezu vollkommen geschützt.

Was damit geklärt wurde

Das Gleichgewichtsergebnis hat einen ungewöhnlichen Ursprung. Im Jahr 1908 stritt der Genetiker Reginald Punnett mit dem Statistiker George Udny Yule, der behauptet hatte, ein dominantes Merkmal würde sich unaufhaltsam in einer Population ausbreiten, bis drei Viertel von ihr betroffen seien. Punnett konnte die algebraische Widerlegung nicht selbst formulieren und wandte sich daher an seinen Cricket-Partner, den reinen Mathematiker G. H. Hardy aus Cambridge.

Hardys Antwort an Science umfasst kaum zwei Seiten und beginnt mit einer Entschuldigung für die Trivialität des Punkts. Er zeigt, dass sich die Genotyphäufigkeiten p², 2pq und q² bei Zufallspaarung in jeder folgenden Generation unverändert reproduzieren: Nichts breitet sich aus, nichts schwindet, die Häufigkeiten bleiben einfach bestehen. Wilhelm Weinberg hatte dasselbe Ergebnis bereits Monate zuvor auf Deutsch veröffentlicht, weshalb das Gesetz heute beide Namen trägt.

Hardy hielt die Frage für unter seinem Niveau – er schrieb später, er habe nie etwas Nützliches getan –, und doch wurde sie zur Gründungsformel der Populationsgenetik. Sie ist auch der Grund, warum die oben genannten Zahlen keine Ansichtssache sind. Sobald man weiß, dass Allelhäufigkeiten von Natur aus stabil bleiben, ist die Wirkung der Selektion berechenbar; und die Rechnung besagt, dass das Entfernen der Betroffenen dem Genpool einen Anteil entzieht, der genau der Häufigkeit des Allels selbst entspricht.

Dieses Ergebnis hatte eine konkrete Zielscheibe, als es neu war. Zwangssterilisationsprogramme in der ersten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts wurden mit dem ausdrücklichen Versprechen gerechtfertigt, Erbkrankheiten innerhalb weniger Generationen auszumerzen. Die Arithmetik auf dieser Seite war damals bereits veröffentlicht, bereits einfach und besagt, dass dieses Versprechen rechnerisch unmöglich war: Die überwältigende Mehrheit der Kopien jedes seltenen rezessiven Allels befindet sich in gesunden Trägern, unsichtbar für jedes Selektionsprogramm, das an den Betroffenen ansetzt. Diese Programme waren aus Gründen monströs, die nichts mit Mathematik zu tun haben. Sie konnten aber auch, nach ihren eigenen Prämissen, niemals funktionieren.

Die moderne Lesart

Dieselbe Arithmetik lässt sich auch vorwärts anwenden – und sie ist der Grund, warum Trägerscreening ein von der Diagnose eigenständiges Konzept ist.

Kennt man die Häufigkeit der Betroffenen, lässt sich daraus die Trägerfrequenz ableiten, denn q = √(q²) und Träger entsprechen 2pq. 1 von 10.000 Betroffenen bedeutet q = 0,01 und Träger bei etwa 1 von 50. 1 von einer Million Betroffenen bedeutet immer noch q = 0,001 und rund 1 von 500 Personen, die Träger sind. Jeder von uns trägt eine Handvoll Allele in sich, die in doppelter Dosis schwerwiegend wären; sie bleiben unsichtbar, weil die Wahrscheinlichkeit gering ist, auf einen Partner mit derselben Anlage zu treffen. Blutsverwandtschaft erhöht das Risiko nicht dadurch, dass sie Neues schafft, sondern indem sie genau diese Wahrscheinlichkeit eines Zusammentreffens steigert.

Und das Fortbestehen ist nicht immer ein bedauerlicher Mangel. Manche Heterozygoten sind fitter als beide Homozygoten – der Schutz des Sichelzell-Allels vor Malaria ist das Standardbeispiel –, und die Voreinstellung Overdominance zeigt, was das bewirkt. Sie beginnt bei p = 0,200 mit der höchsten Fitness bei den Heterozygoten, w(AA) = 0,90 gegenüber w(aa) = 0,80, und pendelt sich nach 120 Generationen bei p = 0,667 ein. Dorthin ist die Simulation nicht zufällig geraten: Der Gleichgewichtspunkt liegt bei (1 − w_aa) ÷ [(1 − w_AA) + (1 − w_aa)] = 0,20 ÷ 0,30, exakt zwei Drittel. Die Selektion hält das Allel fest, statt es zu eliminieren, und die Erkrankung ist der Preis für diesen Schutz.

Eine Warnung zu all dem, und das Panel drückt es mit eigenen Worten aus: Dieses Modell würfelt nie. Es hält p = 0,500 exakt fünfzig Generationen lang und durchläuft jedes Mal dieselbe Kurve, weil kein Zufall im Spiel ist. Reale Populationen sind endlich, daher verschiebt der Zufall allein die Häufigkeiten in jeder Generation – genetische Drift –, und in einer kleinen Population kann die Drift ein Allel verschwinden lassen, an das die Selektion niemals herankäme. Eine unendliche Populationsgröße ist die Annahme, die hier die meiste Last trägt, und sie ist die erste, an der die Realität scheitert.