Doppelintegrale

Hältst du x fest, hat der Körper unter z = f(x, y) einen Querschnitt, dessen Fläche A(x) ein gewöhnliches Integral in y ist. Integrierst du A(x) entlang x, hast du das Volumen. Hältst du stattdessen y fest, musst du den Bereich andersherum lesen, mit x zwischen zwei Kurven. Bis auf einen Fall auf dieser Seite liefern beide Reihenfolgen dasselbe.

Schnitte bei festem x	$\iint_{D} f d A = \int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} f (x, y) d y d x$
Die andere Reihenfolge (Fubini), wenn ∬\|f\| dA endlich ist	$\int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} f d y d x = \int_{c}^{d} \int_{h_{1} (y)}^{h_{2} (y)} f d x d y \iint_{D} ∣ f ∣ d A < \infty$

Rechenbeispiel — Doppelintegrale

Fläche des Schnitts bei diesem x	0,2188
Volumen, Schnitte bei festem x	0,15

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Doppelintegrale

Das Doppelintegral ∬_D f(x, y) dA ist das Volumen zwischen einem Bereich D der xy-Ebene und der Fläche z = f(x, y), wobei Teile unterhalb der Ebene negativ zählen. Berechnet wird es als iteriertes Integral: Man integriert nach einer Variablen, während die andere festgehalten wird, und integriert dann das Ergebnis.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

A(x): die Fläche des Schnitts bei festem x, selbst ein Integral in y
g₁(x), g₂(x): unterer und oberer Rand von D, wenn D entlang x gelesen wird
h₁(y), h₂(y): linker und rechter Rand von D, wenn D entlang y gelesen wird

Woher die Formel kommt

Halte x fest. Die Ebene bei diesem x schneidet aus dem Körper einen Schnitt, dessen obere Kante die Kurve y ↦ f(x, y) ist, vom unteren bis zum oberen Rand des Bereichs. Seine Fläche ist ein Integral in y, bei dem x als Konstante behandelt wird, derselbe Handgriff wie beim partiellen Ableiten.
$A (x) = \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} f (x, y) d y$
Summiere die Schnitte. Das Volumen ist das Integral von A(x) entlang x: Volumen durch Querschnitte, nur dass der Querschnitt ein eigenes Integral brauchte.
$V = \int_{a}^{b} A (x) d x = \int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} f (x, y) d y d x$
Oder schneide andersherum. Lies D entlang y, mit x zwischen einem linken und einem rechten Rand, und integriere zuerst nach x. Der Satz von Fubini sagt, dass beide Reihenfolgen dieselbe Zahl liefern, sobald ∬|f| dA endlich ist, und das gilt für jede stetige Funktion f auf einem abgeschlossenen, beschränkten Bereich.
$\int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} f d y d x = \int_{c}^{d} \int_{h_{1} (y)}^{h_{2} (y)} f d x d y$

Setzt voraus: f ist stetig auf D, oder zumindest ist ∬|f| dA endlich. Wo ein Rand von D seine Formel wechselt, wie die obere Kante des Dreiecks bei x = 1, wird das Integral dort aufgeteilt.

Aufgaben vollständig gelöst

Über einem Rechteck, in beiden Reihenfolgen 3 Schritte
Berechne ∬ xy² dA über dem Rechteck 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 in beiden Reihenfolgen.

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1. Bei festem x integrierst du nach y und behandelst x als Konstante:
  
  $A (x) = \int_{0}^{1} x y^{2} d y = \frac{x}{3}$
2. Dann entlang x:
  
  $\int_{0}^{2} \frac{x}{3} d x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
3. Die andere Reihenfolge, Schnitte bei festem y:
  
  $\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} x y^{2} d x d y = \int_{0}^{1} 2 y^{2} d y = \frac{2}{3}$
Antwort

2/3 ≈ 0,6667 in beiden Fällen. Über einem Rechteck sind die Grenzen in beiden Reihenfolgen Zahlen, und ein Produkt zerfällt: (∫₀² x dx)(∫₀¹ y² dy) = 2 · 1/3.

$\iint_{R} x y^{2} d A = \frac{2}{3} \approx 0.6667$
Ein Bereich zwischen zwei Kurven 2 Schritte
Berechne ∬ (x + y) dA über dem Bereich zwischen y = x² und y = x.

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1. Die Kurven treffen sich bei x = 0 und x = 1, und dazwischen gilt x² ≤ x. Bei festem x reicht der Schnitt also von y = x² bis y = x:
  
  $A (x) = \int_{x^{2}}^{x} (x + y) d y = [x y + \frac{y ^{2}}{2}]_{x^{2}}^{x} = \frac{3 x ^{2}}{2} - x^{3} - \frac{x ^{4}}{2}$
2. Integriere von 0 bis 1:
  
  $\int_{0}^{1} (\frac{3 x ^{2}}{2} - x^{3} - \frac{x ^{4}}{2}) d x = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{10} = \frac{3}{20}$
Antwort

3/20 = 0,15.

$\iint_{D} (x + y) d A = \frac{3}{20} = 0.15$
Die Reihenfolge umkehren 3 Schritte
Schreibe das Integral aus Aufgabe 2 mit umgekehrter Integrationsreihenfolge und berechne es.

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1. Lies den Bereich entlang y: Er reicht von y = 0 bis y = 1, und auf der Höhe y ist sein linker Rand die Gerade x = y, sein rechter Rand die Parabel x = √y:
  
  $\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{x} (x + y) d y d x = \int_{0}^{1} \int_{y}^{y} (x + y) d x d y$
2. Das innere Integral, y fest:
  
  $\int_{y}^{y} (x + y) d x = [\frac{x ^{2}}{2} + x y]_{y}^{y} = \frac{y}{2} + y^{3/2} - \frac{3 y ^{2}}{2}$
3. Dann entlang y:
  
  $\int_{0}^{1} (\frac{y}{2} + y^{3/2} - \frac{3 y ^{2}}{2}) d y = \frac{1}{4} + \frac{2}{5} - \frac{1}{2} = \frac{3}{20}$
Antwort

Wieder 3/20. Die Parabel, die entlang x gelesen der untere Rand war, ist entlang y gelesen der rechte Rand und heißt dann x = √y.

$\int_{0}^{1} \int_{y}^{y} (x + y) d x d y = \frac{3}{20}$
Die Reihenfolge wählen, die mit einem Integral auskommt 3 Schritte
Berechne ∬ xy dA über dem Dreieck mit den Ecken (0, 0), (2, 0) und (1, 1).

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1. Entlang x gelesen ist die obere Kante bis x = 1 die Gerade y = x und danach y = 2 − x, das heißt zwei Integrale. Entlang y gelesen reicht das Dreieck für jedes y vom linken Rand x = y bis zum rechten Rand x = 2 − y. Schneide also bei festem y:
  
  $\iint_{T} x y d A = \int_{0}^{1} \int_{y}^{2 - y} x y d x d y$
2. Das innere Integral:
  
  $\int_{y}^{2 - y} x y d x = \frac{y}{2} ((2 - y)^{2} - y^{2}) = 2 y (1 - y)$
3. Dann entlang y:
  
  $\int_{0}^{1} 2 y (1 - y) d y = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
Antwort

1/3 ≈ 0,3333. Die andere Reihenfolge liefert aus ihren zwei Teilen 1/8 + 5/24, also ebenfalls 1/3.

$\iint_{T} x y d A = \frac{1}{3} \approx 0.3333$
Die Reihenfolge umkehren, um eine Formel zu bekommen 3 Schritte
Berechne ∫₀¹ ∫ₓ¹ e^(y²) dy dx.

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1. Das innere Integral hat keine elementare Stammfunktion, also kehre die Reihenfolge um. Der Bereich ist 0 ≤ x ≤ y ≤ 1; entlang y gelesen ist das 0 ≤ y ≤ 1 mit 0 ≤ x ≤ y:
  
  $\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} e^{y^{2}} d y d x = \int_{0}^{1} \int_{0}^{y} e^{y^{2}} d x d y$
2. Der Integrand hängt nicht von x ab:
  
  $\int_{0}^{y} e^{y^{2}} d x = y e^{y^{2}}$
3. Substituiere u = y²:
  
  $\int_{0}^{1} y e^{y^{2}} d y = [\frac{e ^{y^{2}}}{2}]_{0}^{1} = \frac{e - 1}{2}$
Antwort

(e − 1)/2 ≈ 0,8591.

$\frac{e - 1}{2} \approx 0.8591$
Ein Körper, gegeben durch seine Seitenflächen 3 Schritte
Bestimme das Volumen des Tetraeders, das von den drei Koordinatenebenen und der Ebene x + y + z = 1 begrenzt wird.
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1. Der Körper liegt unter z = 1 − x − y und über dem Teil der xy-Ebene, in dem diese Höhe nicht negativ ist: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1. Lies dieses Dreieck entlang x:
  
  $V = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x} (1 - x - y) d y d x$
2. Das innere Integral, x fest:
  
  $\int_{0}^{1 - x} (1 - x - y) d y = \frac{( 1 - x ) ^{2}}{2}$
3. Dann entlang x:
  
  $\int_{0}^{1} \frac{( 1 - x ) ^{2}}{2} d x = \frac{1}{6}$
Antwort

1/6, passend zu einem Drittel von Grundfläche mal Höhe: (1/3)(1/2)(1).

$V = \frac{1}{6}$
Die mittlere Höhe über einem Bereich 3 Schritte
Bestimme den Mittelwert von f(x, y) = x + y über dem Bereich aus Aufgabe 2.
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1. Der Mittelwert ist das Volumen geteilt durch den Flächeninhalt |D| des Bereichs, also die Höhe einer flachen Platte über D mit demselben Volumen:
  
  $\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{∣ D ∣} \iint_{D} f d A$
2. Der Flächeninhalt ist das Doppelintegral von 1:
  
  $∣ D ∣ = \int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{x} d y d x = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = \frac{1}{6}$
3. Mit dem Volumen 3/20 aus Aufgabe 2:
  
  $\overset{ˉ}{f} = \frac{3/20}{1/6} = \frac{9}{10}$
Antwort

9/10 = 0,9.

$\overset{ˉ}{f} = 0.9$
Wenn die beiden Reihenfolgen nicht übereinstimmen 4 Schritte
Zeige, dass die beiden iterierten Integrale von f(x, y) = (x² − y²)/(x² + y²)² über dem Einheitsquadrat verschieden sind, und gib an, welche Voraussetzung des Satzes von Fubini verletzt ist.

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1. Die Ableitung von y/(x² + y²) nach y ist f, also gilt bei festem x > 0:
  
  $\int_{0}^{1} \frac{x ^{2} - y ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} d y = [\frac{y}{x ^{2} + y ^{2}}]_{0}^{1} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$
2. In dieser Reihenfolge also:
  
  $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f d y d x = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = arctan 1 = \frac{π}{4}$
3. Vertauscht man x und y, ändert f sein Vorzeichen; die andere Reihenfolge ist also dieselbe Rechnung mit umgekehrtem Vorzeichen:
  
  $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f d x d y = - \frac{π}{4}$
4. In Polarkoordinaten ist f = cos 2θ/r². Über der Viertelkreisscheibe vom Radius 1, die im Quadrat liegt, gilt
  
  $\int_{0}^{π /2} \int_{0}^{1} \frac{∣ cos 2 θ ∣}{r ^{2}} r d r d θ = \int_{0}^{π /2} ∣ cos 2 θ ∣ d θ \int_{0}^{1} \frac{d r}{r} = \infty$
Antwort

π/4 ≈ 0,7854 in der einen Reihenfolge und −π/4 in der anderen. ∬|f| dA ist unendlich, und genau die Endlichkeit setzt der Satz von Fubini voraus.

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f d y d x \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f d x d y = \frac{π}{4} \approx 0.7854 = - \frac{π}{4}$

Vertausche die Reihenfolge, und ein Integral ohne Formel bekommt eine 🖖

Klicke auf Ein Schnitt ohne Formel. Bei festem x ist der Schnitt das Integral von e^(y²) von y = x bis 1, und e^(y²) hat keine Stammfunktion aus elementaren Funktionen. Gegen dieselbe Wand läuft im Integrationskapitel e^(−t²). Die Seite kann jeden Schnitt nur numerisch berechnen. Klicke jetzt auf Dasselbe andersherum. Bei festem y reicht der Schnitt von x = 0 bis x = y, und die Höhe e^(y²) hängt nicht von x ab; der Schnitt ist also ein Rechteck mit der Fläche y·e^(y²). Das ist die Ableitung von e^(y²)/2, und das Volumen ist exakt (e − 1)/2. Am Körper hat sich nichts geändert. Allein die Reihenfolge der Integration hat entschieden, ob die Schnitte überhaupt eine Formel haben.

Eine Funktion, bei der die Reihenfolge das Ergebnis ändert 🖖

Klicke auf Die Reihenfolge ändert das Ergebnis. Die Funktion (x² − y²)/(x² + y²)² ist unterhalb der Diagonale des Einheitsquadrats positiv und oberhalb negativ. Schneidest du bei festem x, ist jeder Schnitt netto positiv, 1/(1 + x²), und das iterierte Integral ist π/4 ≈ 0,7854. Wechselst du zu dx dy, ist jeder Schnitt netto negativ, −1/(1 + y²), und es kommt −0,7854 heraus. In keiner der beiden Rechnungen steckt ein Fehler. Nahe dem Ursprung verhält sich die Fläche wie cos 2θ/r², deshalb sind das Volumen über dem Quadrat und das Volumen darunter jeweils unendlich, und die beiden Reihenfolgen verrechnen sie auf verschiedene Weise gegeneinander. Es gibt kein Doppelintegral, auf das sie sich einigen könnten. Der Satz von Fubini, 1907 veröffentlicht, garantiert übereinstimmende Reihenfolgen, wenn ∬|f| dA endlich ist. Hier ist es unendlich, und der Satz garantiert gar nichts.

Der Körper unter einer unendlichen Spitze hat das Volumen π²/6 🖖

Klicke auf Ein Volumen von π²/6. Die Fläche 1/(1 − xy) steigt in der Ecke (1, 1) unbeschränkt an, und doch hat der Körper darunter über dem Einheitsquadrat das Volumen 1,6449. Entwickle den Integranden in eine geometrische Reihe, 1 + xy + x²y² + …, und integriere gliedweise: xⁿyⁿ ergibt über dem Quadrat 1/(n + 1)², das Volumen ist also 1 + 1/4 + 1/9 + …, jene Summe, von der Euler 1735 zeigte, dass sie π²/6 ist. Rückwärts gelesen ist das Doppelintegral ein Weg, die Reihe zu summieren. Frits Beukers benutzte 1979 Integrale über demselben Quadrat mit 1 − xy im Nenner für seinen kurzen Beweis, dass 1 + 1/8 + 1/27 + … irrational ist.

Lernpfad

Anwendungen der Integralrechnung

Quellen (4)

The method and the two descriptions of a region the page uses: Type I (“between two vertical lines and the graphs of two continuous functions”) and Type II (between two horizontal lines), and Theorem 5.4, Fubini's theorem (strong form), for a function continuous on such a region: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 3, OpenStax (2016), section 5.2, “Double Integrals over General Regions”.
Insight block 2: Fubini's theorem on successive integration, for f in L¹, that is, with ∬|f| finite; published 1907: G. Fubini, “Sugli integrali multipli”, Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali (5) 16 (1907), no. 1, 608–614.
Insight block 3: Euler showed in 1735 that 1 + 1/4 + 1/9 + … = π²/6: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Leonhard Euler”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated September 1998).
Insight block 3: integrals over the unit square with 1 − xy in the denominator, used to prove ζ(2) and ζ(3) irrational: F. Beukers, “A Note on the Irrationality of ζ(2) and ζ(3)”, Bulletin of the London Mathematical Society 11 (1979), no. 3, 268–272.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.