記事
ツールの背後にある数学を、少し長めに書いた記事です。結果が実際に何を主張しているのか、どこから来たのか、そしてどこから成り立たなくなるのか。それぞれの記事には、自分で確かめられるツールへのリンクを添えています。
機械翻訳です。原文は英語版です。 English
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数学
初等的な式で表せない原始関数と、厳密に ln 2 となる面積(x − 1)/ln x に対して、微積分の教科書にある積分の諸規則はまったく役に立ちません。それでも0から1までの曲線下の面積は厳密に ln 2 であり、積分に回すためのダイヤルを1つ与えれば、わずか3行で答えにたどり着けます。
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生物・地学・化学
火災は消費する酸素によって測られる燃料1キログラムあたりで見ると、私たちが燃やす物質の発熱量は3倍以上も異なる。しかし酸素1キログラムあたりでは、その大半がある1つの数値の5%以内に収まる。発熱量は酸素が何に変化するかによって決まり、清浄な炎においてそれは2つのもののいずれかにしかならないからである。
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数学
1,500年間、これより小さな分数が超えられなかったπの分数5世紀、祖沖之は355/113という分数を書き残した。1,500年が経過した今もなお、これは分子3桁・分母3桁で到達できる最高のπの分数であり、その理由はπの連分数の中に存在するたった1つの大きな数にある。
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統計・ファイナンス
国の債務は返済して消すのではなく、経済成長によって希薄化させるものである14年連続で、米国の債務は拡大すると同時に縮小していました。そのどちらに目を向けるかは、何で割るかによって完全に決まります。
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生物・地学・化学
475年地震は地質学ではない世界中の耐震設計図には、2つの奇妙な数値が刻まれている。どちらも実測されたものではない。双方とも、許容された破壊確率をたった1行の代数式に通した結果にすぎない。そして同じ式が、なぜ100年確率洪水が人の生涯においてコイン投げのような確率になるのかを説明している。
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生物・地学・化学
39都市には地球の質量を超えるDNAが必要となるDNAコンピューティングは、分子並列性によって指数関数的探索を克服すると期待されていた。だが、その期待を打ち砕く計算は、タンパク質が自身の立体構造を探索しているはずがないと証明するためにレヴィンタールが用いた議論そのものである――そして、その議論を経てもなお残るものは、計算速度などでは全くない。
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統計・ファイナンス
平均リターンは、あなたのお金が稼ぐことの決してない唯一の数字である平均とは、すでに経過した年月の要約に過ぎない。お金が実際に体験するのは、それが起きた順序、それをもたらしたリスク、そして平均値そのものの不確実性であり、そのそれぞれが平均には表れないコストをもたらしている。
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生物・地学・化学
両種を同じ割合で駆除すると害虫がかえって増加する捕食者・被食者モデルには厳密な長期平均値が存在するが、それは妙な位置にある。両種の死亡率を等しく上げると、被食者の平均個体数が増加するのだ。ヴォルテラは1926年、魚市場の帳簿の中にこれを発見した。
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天文学 & 宇宙
太陽が月を引く力は地球の2倍である地球は1.98 × 10²⁰ newtonsの力で月を引いている。太陽は4.35 × 10²⁰の力で月を引いている。太陽が2対1以上の大差で勝っているにもかかわらず、月は地球のもとにとどまっており、その理由は多くの人が考えるようなものではない。
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数学
同じ国境を測定した2つの国、結果は227 km食い違ったスペインはポルトガルとの国境を1,214 kmとし、ポルトガルは同じ国境を987 kmとした。双方とも注意深く測定していたが、使用した尺が異なっていたのである。そして、より短い尺を使うほど、常に海岸線は長くなる。
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統計・ファイナンス
「リスクを半減させる」が意味するのは100人に1人の場合もある相対リスクは大きく思えてもごくわずかである場合があり、絶対リスクは小さく思えても実際に個人に起こることそのものである。大半の健康報道はこの両者のギャップに依存しており、その解消に必要なのは1回の引き算である。
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生物・地学・化学
1を下回れば消え、1を上回れば暴走する。その中間はない。流行も核連鎖反応もPCRも姓も、同じ閾値に支配されている。各単位が平均して1つ未満の後継しか生まないなら、絶滅は確実である。刃の上はちょうど 1 のところにあり、数学が最初に整理されたのはヴィクトリア朝の家名についてだった。
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天文学 & 宇宙
夜空は太陽と同じくらい明るいはずである。外に出て確かめてみよう。もし宇宙が無限で永遠であるなら、どの方向を見ても視線は最終的に恒星に行き着き、夜空はその表面のように眩しく輝いているはずである。しかし実際には夜空は暗く、その暗闇こそがあらゆるものの年齢についての証拠なのである。
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コンピューティング
書き言葉の日本語の半分は158文字。次の45%にはさらに1000文字が必要となる。単語の出現頻度は、調べられたあらゆる言語において同じ偏った法則に従う。それは学習の初期段階を奇跡のように、最終段階を不可能のように感じさせ、その双方の感覚はまったく同じ曲線を描いている。
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統計・ファイナンス
何もないデータに対して20回のテストを行えば、そのうちの1つは有意になりますp < 0.05 は、単一のテストにおいて 5% の誤り率を保証するものです。20 回のテストを行うと、少なくとも 1 つの偽陽性が発生する確率は 64% に達します。修正自体は計算上の問題ですが、困難なのは報告されなかったテストを誰もカウントしていないという点にあります。
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数学
πは正規分布の式のなかにいて、そこに円はどこにもない床板の上に針を落とせばπが測れる。二つの物体をぶつければπが数えられる。どちらにも円はどこにもない。πが本当に扱っているのは回転と、二つの平方の和である。円は、たいていの人がπに最初に出会う場所にすぎない。
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数学
1桁の数字を入力した。返ってきた答えは6桁だった。計算機は入力された値以上の精度を持つことはできないが、それを教えてくれるものはひとつもない。本記事では、余分な桁数が実際には何を意味しているのか、なぜ逆数においてそれを忘れるのが最も致命的なのか、そしてなぜ当サイトではあえてそれらを表示しているのかを解説する。
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物理学
物理学をほとんど知らなくても、振り子の公式は導出できる。ほぼ、だが。次元解析を用いれば、単位だけから法則の形―どの物理量がどのように関与しているか―が得られる。得られないのは先頭に付く純粋な数値であり、この手法の限界がどこにあるかを正確に把握することこそが、それを有用なものにしている。
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天文学 & 宇宙
太陽を量った者はいない。まわるものの時間を計っただけである。触れられない質量を測る方法は一つしかない。何かがそのまわりを回るのを見て、周期を計ることである。同じ式が惑星も恒星も銀河まるごとも量る。ダークマターは、その答えが空と合わなくなった場所に現れた。
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物理学
火側の10度は8.2ジュールの価値があり、川側の10度は16.7ジュールの価値がある。カルノー効率は両方の温度に依存するが、等しく依存するわけではない。低温側の温度を下げることは、高温側の温度を上げるよりも T_H/T_C 倍効果的である。あいにく、低温側は通常、制御の利かない川である。
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数学
刻み幅を半減させれば誤差も半減するはずだ。だがツールが示す値は1.73である。「1次」とは極限における振る舞いの保証であり、現に実行している刻み幅に対する保証ではない。この保証と実測値の乖離それ自体が1次であるため、その保証を前提にした誤差推定は予測可能な方向に狂うことになる。
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物理学
このサイトにある4つのツールは、同じ方程式を実行している。そのパラメータには4つの名前がある。RC、1/λ、1/k、そして膜時定数は、姿を変えた1つの同じ量である。一度理解してしまえば、4つの分野で自分のものにできる。多くの人が換算を誤るのが半減期である。
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統計・ファイナンス
データのすべてのグループが下降傾向を示している。全体としては上昇傾向を示している。合算した傾きは+0.0928です。同じ行をもう1つの列で分割すると、2つのグループの傾きは−0.5842と−0.6109になります。どちらの記述も算術的には正しく、あなたの疑問に答えているのはそのうちの1つだけです。
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天文学 & 宇宙
z = 3 のクエーサーは光速の 1.46 倍で後退している宇宙論的赤方偏移はドップラーシフトではなく、その違いは z ≈ 1.5 を超えると単なる学問上の問題にとどまらなくなる。そこでは、何かが空間内を移動したり相対性理論を破ったりすることなく、後退速度が c を超える。
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生物・地学・化学
集団免疫閾値は66.7%なのに、なぜ流行によって94.1%が感染するのか？閾値とはアウトブレイクの拡大が止まる地点であり、流行が終息する地点とは全く異なる。感染はその地点を大きく超えて広がり続け、そのオーバーシュートの規模こそが、自然感染ではなくワクチン接種によって閾値に到達すべきだとする論拠である。
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生物・地学・化学
完全な選択を50世代続けても劣性遺伝子は半減するにとどまり、それすら最良のシナリオであるある劣性遺伝疾患が、すべての世代で、例外なく完全に致死であると仮定してみよう。50世代を経ても、その対立遺伝子の頻度は2%から1%に減るだけである。その理由を説明する算術は、1908年にすでに発表されていた。
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数学
ニュートン法は1ステップごとに誤差を倍増させることがある――答えまではわずか0.01だったにもかかわらず方程式を数値的に解く標準的な手法は、反則と思えるほど急速に収束する。しかし立方根を与えると、ステップごとに距離を倍増させながら、永遠に答えから遠ざかっていく。
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生物・地学・化学
放射性原子は自らの年齢を知らないすでに100万年を生き延びた原子が次の1秒間に崩壊する確率は、つい先ほど生み出された原子とまったく同じである。指数減衰はこの性質を持つ唯一の連続法則であり、そもそも半減期という数値が意味を成すのもこのためである。
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物理学
共振とはピークではなく、位相関係である強制振動系の振幅ピークは減衰に伴って移動し、完全に消失することさえある。しかし、位相遅れはいかなる減衰の値においても、固有振動数で正確に90度を通過する。位相こそが定義であり、ピークは症状にすぎない。
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統計・ファイナンス
回帰直線は2本あり、R²はその2本の間の開きであるxに対するyのあてはめと、yに対するxのあてはめは、同じデータ点群を通る2本の異なる直線を与える。それらの傾きの比は正確にR²であり、このよく知られた適合度の指標を視覚的に捉えられるものに変える。
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数学
素数は数式で表せる割合で疎になっていくある数 n の近くにおける素数の密度は、およそ ln n 分の 1 です。このひとつの事実によって、任意の範囲以下にどれだけの素数が存在するのか、なぜ素数は決して尽きないのか、そしてコンピュータが 1024 ビットの素数を見つけるのにどれほどの時間探索を要するのかが分かります。
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天文学 & 宇宙
前方の宇宙船に追いつくには、減速する同じ軌道上にいる目標に向けてエンジンを噴射すると、かえってそのさらに後方に引き離されてしまう。追いつく唯一の方法は、減速してより低くより速い軌道へ降り、前方に出てから上昇することだ。
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統計・ファイナンス
利用率99%のシステムが75%のシステムよりわずかに悪いだけでは済まない理由待ち行列の長さは残された余裕の逆数に比例して増大するため、利用率の最後の数パーセントのコストは、それ以外のすべての合計よりも大きくなる。システムが順調に見えていたにもかかわらず、事前の警告なしに突如として崩壊するのはこのためである。
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統計・ファイナンス
ランダム性によって精度を得る交換比率は極めて悪いモンテカルロ推定の精度はサンプル数の平方根に応じて向上するため、有効数字を1桁増やすごとに100倍の作業が必要となる。奇妙なことに、何をシミュレーションしているかにかかわらず、この割合は常に成立する。
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物理学
振り子の公式は振れが小さいことを暗黙に前提としているT = 2π√(L/g) は振り子の周期ではありません。それはごくわずかにしか動かない振り子の周期であり、振れが 85 度に達するまでに、誤差は 16% 近くにまで大きくなります。
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コンピューティング
なぜソートはこれ以上高速化できないのか100個の要素をソートするには少なくとも525回の比較が必要であり、将来どんなアルゴリズムが登場してもこれを改良することはできません。この証明は特定のアルゴリズムを一切分析しません。存在する並び順の数と、Yes/Noの質問から得られる最大の情報量だけを数え上げているのです。
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物理学
なぜどのピアノも調律が合っていないのか完全五度を12回重ねると、7オクターブより23.46セント高くなる。この隔たりはいかなる調律によっても解消できない。なぜなら、それは音楽の性質ではなく素数に関する数学的事実であり、あなたがこれまでに弾いたすべての鍵盤楽器は、この事実との妥協の産物だからである。
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生物・地学・化学
マグニチュード7は、マグニチュード6より少し悪いのではない放出されるエネルギーはおよそ32倍になる。対数目盛りは大災害を隣り合って見える数へ圧縮してしまい、それがそのまま報じ方の問題になっている。
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天文学 & 宇宙
ロケットの大部分は燃料であり、工学技術が進歩してもそれは変わらないロケット方程式は不利な方向に対数的である。速度は搭載する質量の対数に応じてしか増加しない。軌道への到達には、その後の行程のすべてを合わせた以上のコストがかかる。
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コンピューティング
言語モデルが単語に含まれる文字を数えるのに苦戦する理由モデルは文字そのものを決して見ていない。テキストはモデルが読み取る前にトークンへと分割されており、不可解に思える数多くの失敗は、この分割がどこに入るかに直接起因している。
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統計・ファイナンス
23人と、予期すべき偶然の一致部屋に23人いると、誕生日が一致する確率は半分を超える。その規模の部屋には253組のペアが存在し、重要なのはペアの数である。その数は人数の2乗に応じて増加する。
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コンピューティング
すべてのファイルを縮小できる圧縮プログラムは存在せず、その証明はわずか1段落で終わる可逆圧縮は予測可能性を利用して機能するため、予測可能性を全く持たないファイルを小さくすることはできない。証明は個数を数えるだけだ。9つのものは8つの箱には収まらない。
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統計・ファイナンス
精度99%の検査は、たいてい間違っているまれな疾患を精度99%の検査でスクリーニングすると、陽性594件のうち495件は誤報となる。それを決定づけるのはその疾患のまれさであり、検査精度の横で誰も挙げない数値なのだ。
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数学
1000年にわたり算術の上限であり続けた規則たすき掛けは、単なる手順上の小細工として片付けられがちです。しかし西暦628年に記録されて以来、3つの大陸を渡り、教育を受ける機会のあった大半の人々にとって数学カリキュラムの終着点となっていました。
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数学
すべてのサッカーボールには12個の五角形があり、それ以外の数になることはない各頂点に3つの面が集まる、五角形と六角形からなるどのような閉じた構造も、正確に12個の五角形をもつ。ボールの大きさに関わらず常に12個であり、その証明において五角形を1個も数え上げることはない。
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数学
ピタゴラスは三角形についての事実ではないa² + b² = c² は球面上では成り立たず、双曲空間ではその逆向きに破綻する。この定理が実際に主張しているのは、自分が立っているその面が平坦であるということなのだ。
