Artigos
Textos mais longos sobre a matemática por trás das ferramentas: o que um resultado afirma de facto, de onde vem e o ponto em que deixa de ser verdade. Cada um liga às ferramentas com que pode confirmá-lo.
Traduções automáticas. O original é a versão em inglês. English
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Matemática
Uma primitiva sem fórmula e uma área de exatamente ln 2As regras do capítulo da integração não levam a lado nenhum com (x − 1)/ln x. Ainda assim, a área sob a curva de 0 a 1 é exatamente ln 2, e o caminho até lá tem apenas três linhas assim que se dá um manípulo para rodar ao integral.
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Biologia e Química
Um fogo mede-se pelo oxigénio que consomePor quilograma de combustível, aquilo que queimamos difere em mais do triplo. Por quilograma de oxigénio, a maioria situa-se a menos de 5% de um mesmo valor, porque o calor é determinado por aquilo em que o oxigénio se transforma, e numa chama limpa transforma-se numa de duas coisas.
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Matemática
A fração para π que nada mais pequeno superou em 1 500 anosZu Chongzhi registou 355/113 no século V. Continua a ser a melhor fração para π que se consegue alcançar com três dígitos sobre três, e a razão é um único número grande situado na fração contínua de π.
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Estatística e Finanças
Uma dívida pública não se amortiza: cresce-se mais depressa do que elaDurante catorze anos consecutivos, a dívida dos Estados Unidos aumentou e diminuiu ao mesmo tempo. Qual destas duas realidades se nota depende inteiramente daquilo pelo qual se divide.
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Biologia e Química
O sismo de 475 anos não é geologiaDois números invulgares figuram nos mapas de dimensionamento sísmico em todo o mundo. Nenhum foi medido. Ambos resultam de uma probabilidade de falha tolerada calculada através de uma única linha de álgebra — e essa mesma linha explica por que razão uma cheia de 100 anos é um cara ou coroa ao longo de uma vida.
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Biologia e Química
Trinta e nove cidades precisam de mais ADN do que a TerraA computação com ADN prometeu vencer a pesquisa exponencial através do paralelismo molecular. A contagem que a inviabiliza é o argumento utilizado por Levinthal para provar que as proteínas não podem estar à procura da sua forma — e o que sobrevive ao argumento não tem nada a ver com velocidade.
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Estatística e Finanças
O retorno médio é o único número que o seu dinheiro nunca rendeUma média é um resumo de anos que já aconteceram. O seu dinheiro experimenta a ordem pela qual aconteceram, o risco que os produziu e a incerteza em torno da própria média — e cada um desses fatores custa algo que a média não mostra.
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Biologia e Química
Elimine ambas as espécies à mesma taxa e obterá mais da pragaO modelo predador-presa tem uma média exata a longo prazo, e esta situa-se num lugar curioso: aumente a taxa de mortalidade de ambas as espécies na mesma proporção e a população média de presas sobe. Volterra descobriu-o nos registos do mercado de peixe em 1926.
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Astronomia & Espaço
O Sol atrai a Lua com o dobro da força da TerraA Terra atrai a Lua com 1,98 × 10²⁰ newtons. O Sol atrai-a com 4,35 × 10²⁰. O Sol vence por mais de dois para um, a Lua fica connosco ainda assim, e a razão não é aquela a que a maioria das pessoas recorre.
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Matemática
Dois países mediram a mesma fronteira e discordaram em 227 quilómetrosA Espanha fixou a sua fronteira com Portugal em 1 214 km. Portugal fixou a mesma fronteira em 987 km. Ambos tinham medido com cuidado; tinham usado réguas diferentes, e uma régua mais curta encontra sempre mais costa.
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Estatística e Finanças
«Reduz o seu risco para metade» pode significar uma pessoa em cemO risco relativo parece enorme e pode ser minúsculo; o risco absoluto parece minúsculo e é o que realmente lhe acontece. O fosso entre os dois é onde habita a maioria do jornalismo de saúde, e a solução é uma simples subtração.
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Biologia e Química
Abaixo de um extingue-se. Acima de um dispara. Não há nada pelo meio.O mesmo limiar governa epidemias, reações nucleares em cadeia, a PCR e os apelidos: se cada unidade produz em média menos de um sucessor, a extinção é certa. O fio da navalha está exatamente em 1, e a matemática foi feita pela primeira vez sobre apelidos vitorianos.
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Astronomia & Espaço
O céu noturno deveria ser tão brilhante como o Sol. Saia e verifique.Se o universo fosse infinito e eterno, todas as direções em que olhasse acabariam por atingir uma estrela, e o céu noturno resplandeceria como a superfície de uma. Em vez disso, é escuro, e essa escuridão é uma evidência sobre a idade de tudo.
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Computação
Metade do japonês escrito são 158 caracteres. Os 45% seguintes custam mais mil.As frequências das palavras seguem a mesma lei assimétrica em todas as línguas já estudadas. Faz com que a primeira fase da aprendizagem pareça milagrosa e a última pareça impossível, e ambas as sensações resultam da mesma curva.
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Estatística e Finanças
Execute vinte testes sobre o nada, e um deles será significativop < 0,05 promete uma taxa de erro de 5% num único teste. Execute vinte e a probabilidade de ocorrer pelo menos um falso alarme é de 64%. A correção é aritmética; a parte difícil é que ninguém conta os testes que não reportou.
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Matemática
O π está na curva de Gauss, e não há um círculo em lado nenhum delaDeixe cair agulhas num soalho e consegue medir o π. Faça colidir dois blocos e consegue contá-lo. Nem um caso nem o outro têm um círculo. O π trata de rotação e da soma de dois quadrados; os círculos são apenas o sítio onde quase todos lhe pomos a vista pela primeira vez.
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Matemática
Escreveu um algarismo. A resposta veio com seis.Uma calculadora não pode ser mais precisa do que os dados que nela introduziu, e nenhuma o diz. Eis o que os algarismos adicionais realmente significam, por que razão o inverso é o pior lugar para o esquecer, e por que razão este site os apresenta ainda assim.
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Física
É possível deduzir a fórmula do pêndulo sem saber física. Quase.A análise dimensional fornece a forma de uma lei apenas a partir das unidades: que grandezas importam e de que modo. O que não pode fornecer é o número puro à frente, e saber exatamente onde o método para é o que o torna útil.
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Astronomia & Espaço
Ninguém alguma vez pesou o Sol. Cronometrámos uma coisa a dar-lhe a volta.Há uma maneira de medir uma massa em que não se pode tocar: ver alguma coisa orbitá-la e cronometrar a órbita. A mesma equação pesa planetas, estrelas e galáxias inteiras. A matéria escura apareceu onde a resposta dela deixou de bater certo com o céu.
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Física
Dez graus no fogo valem 8,2 joules. Dez graus a menos no rio valem 16,7.A eficiência de Carnot depende de ambas as temperaturas, mas não de forma igual: baixar o lado frio supera o aumento do lado quente por um fator de T_H/T_C. Inconvenientemente, o lado frio é geralmente um rio que não se controla.
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Matemática
Reduzir o tamanho do passo para metade deveria reduzir o erro para metade. A ferramenta indica 1,73.«Primeira ordem» é uma promessa sobre o limite, e não sobre o tamanho do passo que está a executar. A discrepância entre a promessa e a medição é, ela própria, de primeira ordem, razão pela qual uma estimativa de erro assente na promessa é errada numa direção previsível.
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Física
Quatro ferramentas neste site executam a mesma equação. O seu parâmetro tem quatro nomes.RC, 1/λ, 1/k e a constante de tempo da membrana são a mesma grandeza sob quatro disfarces. Aprenda-a uma vez e dominá-la-á em quatro disciplinas. A conversão em que as pessoas se enganam é a da semivida.
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Estatística e Finanças
Todos os grupos nos dados apresentam uma tendência descendente. O total apresenta uma tendência ascendente.O declive agregado é de +0,0928. Divida as mesmas linhas por uma coluna adicional e os dois grupos passam a ter declives de −0,5842 e −0,6109. Ambas as descrições estão aritmeticamente corretas, mas apenas uma responde à sua pergunta.
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Astronomia & Espaço
Um quasar a z = 3 afasta-se a 1,46 vezes a velocidade da luzO desvio para o vermelho cosmológico não é um desvio de Doppler, e a diferença deixa de ser académica acima de z ≈ 1,5, onde a velocidade de recessão ultrapassa c sem que nada se desloque através do espaço ou viole a relatividade.
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Biologia e Química
O limiar de imunidade de grupo é 66,7%, então porque é que a epidemia infeta 94,1%?O limiar é o ponto em que um surto para de crescer, o que está longe de ser o ponto em que para totalmente. Continua a infetar pessoas muito para além desse ponto, e a dimensão deste excesso é o argumento para atingir o limiar através da vacinação e não através da doença.
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Biologia e Química
Cinquenta gerações de seleção perfeita reduzem para metade um gene recessivo, e esse é o melhor cenárioSuponha-se que uma condição recessiva era letal em todos os casos, em todas as gerações, sem exceções. Ao fim de cinquenta gerações, o alelo passou de 2% para 1%. A aritmética que explica porquê foi publicada em 1908.
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Matemática
O método de Newton pode duplicar o erro a cada passo, e a resposta estava a 0,01 de distânciaO método padrão para resolver uma equação numericamente converge tão depressa que parece magia. No entanto, perante a raiz cúbica, afasta-se da solução, duplicando a distância a cada iteração, indefinidamente.
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Biologia e Química
Um átomo radioativo não sabe que idade temUm átomo que já sobreviveu um milhão de anos tem exatamente a mesma probabilidade de decair no segundo seguinte que um criado há instantes. O decaimento exponencial é a única lei contínua com essa propriedade, e é por isso que a meia-vida tem sequer significado.
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Física
A ressonância é uma relação de fase, não um picoO pico de amplitude de um oscilador forçado desloca-se com o amortecimento e pode desaparecer por completo, mas o desfasamento passa exatamente por 90 graus na frequência natural para qualquer valor de amortecimento. A fase é a definição; o pico é um sintoma.
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Estatística e Finanças
Existem duas retas de regressão, e R² é a distância entre elasAjustar y em função de x e ajustar x em função de y produz duas retas diferentes que passam pelos mesmos pontos. A razão entre os seus declives é exatamente R ao quadrado, o que transforma esse número familiar de qualidade do ajustamento em algo visível.
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Matemática
Os primos escasseiam a uma taxa definívelA densidade dos primos perto de um número n é de cerca de um em ln n. Esse único facto indica quantos primos existem abaixo de qualquer limite, por que razão nunca se esgotam e quanto tempo um computador tem de procurar para encontrar um primo de 1024 bits.
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Astronomia & Espaço
Para alcançar a nave espacial à sua frente, reduza a velocidadeAcionar o motor na direção de um alvo na mesma órbita faz com que fique ainda mais para trás. A única forma de o alcançar é travar, descer para uma órbita mais baixa e mais rápida, e voltar a subir à frente.
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Estatística e Finanças
Por que razão um sistema a 99% de utilização não é ligeiramente pior do que um a 75%O comprimento da fila cresce como um sobre a folga restante, pelo que os últimos pontos percentuais de utilização custam mais do que tudo o resto combinado. É por isso que os sistemas parecem estar bem e depois falham sem qualquer aviso prévio.
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Estatística e Finanças
A aleatoriedade compra exatidão a uma taxa de câmbio terrívelUma estimativa de Monte Carlo melhora com a raiz quadrada do número de amostras, pelo que cada dígito correto adicional custa cem vezes mais trabalho. O mais estranho é que esta taxa se mantém, independentemente do que esteja a simular.
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Física
A fórmula do pêndulo pressupõe silenciosamente uma pequena amplitudeT = 2π√(L/g) não é o período de um pêndulo. É o período de um pêndulo que quase não se move, e o erro cresce até quase 16% quando a oscilação atinge 85 graus.
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Computação
Porque é que a ordenação não pode ser mais rápidaOrdenar cem itens exige pelo menos 525 comparações e nenhum algoritmo futuro conseguirá melhorar este valor. A demonstração não examina nenhum algoritmo em absoluto: conta quantas disposições existem e quanto uma pergunta de sim ou não pode eventualmente revelar.
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Física
Por que razão nenhum piano está afinadoDoze quintas justas ficam 23,46 cents acima de sete oitavas. Essa diferença não pode ser eliminada por nenhuma afinação, porque se trata de um facto sobre números primos e não sobre música, e cada teclado em que já tocou é um compromisso negociado sobre ela.
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Biologia e Química
Uma magnitude 7 não é um pouco pior do que uma magnitude 6Liberta cerca de 32 vezes a energia. As escalas logarítmicas comprimem catástrofes em números de aspeto vizinho, e é precisamente aí que está o problema de as noticiar.
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Astronomia & Espaço
A maior parte de um foguetão é combustível, e uma engenharia melhor não mudará issoA equação do foguete é logarítmica no sentido errado: a velocidade aumenta como o logaritmo da massa transportada. Atingir a órbita custa mais do que tudo o que vem depois.
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Computação
Por que razão um modelo de linguagem tem dificuldade em contar as letras de uma palavraNunca chega a ver as letras. O texto é dividido em tokens antes de o modelo ler o que quer que seja, e inúmeras falhas intrigantes decorrem diretamente de onde essas divisões ocorrem.
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Estatística e Finanças
Vinte e três pessoas, e a coincidência que deve esperarCom 23 pessoas numa sala, a probabilidade de um aniversário partilhado ultrapassa metade. Uma sala desse tamanho comporta 253 pares, e são os pares que importam — a contagem cresce com o quadrado da lista de convidados.
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Computação
Nenhum compressor consegue reduzir todos os ficheiros, e a demonstração ocupa um parágrafoA compressão sem perdas funciona explorando a previsibilidade, pelo que um ficheiro sem qualquer previsibilidade não pode de todo ser reduzido. A demonstração é uma contagem: nove elementos não cabem em oito caixas.
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Estatística e Finanças
Um teste com 99% de exatidão costuma estar erradoRastreie uma condição rara com um teste com 99% de exatidão e 495 em cada 594 resultados positivos são falsos alarmes. A raridade da condição é o fator determinante, e é o valor que ninguém refere ao lado da exatidão.
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Matemática
O dobro da altura são quatro vezes a tinta e oito vezes o betãoOs comprimentos escalam com k, as áreas com k² e os volumes com k³. Enganar-se nisto é provavelmente o erro de aritmética mais caro que as pessoas comuns cometem.
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Matemática
A regra que foi o teto da aritmética durante mil anosA multiplicação cruzada é habitualmente descartada como um truque procedimental. Foi registada por escrito em 628 d.C., percorreu três continentes e foi o ponto final do programa de matemática para a maioria das pessoas que alguma vez tiveram acesso a um.
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Matemática
Todas as bolas de futebol têm doze pentágonos, e não poderiam ter nenhum outro númeroQualquer gaiola fechada de pentágonos e hexágonos com três faces em cada vértice tem exatamente doze pentágonos. Sempre doze, seja qual for o tamanho da bola, e a demonstração nunca conta um único.
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Matemática
Pitágoras não é um facto sobre triângulosa² + b² = c² falha numa esfera e falha em sentido oposto no espaço hiperbólico. O que o teorema realmente afirma é que a superfície onde nos encontramos é plana.
