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Des textes plus longs sur les mathématiques derrière les outils : ce qu'un résultat affirme vraiment, d'où il vient, et le moment où il cesse d'être vrai. Chacun renvoie aux outils avec lesquels vous pouvez le vérifier vous-même.
Traductions automatiques. L'original est la version anglaise. English
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Mathématiques
Une primitive sans formule, et une aire valant exactement ln 2Les règles du chapitre sur l'intégration ne mènent à rien avec (x − 1)/ln x. L'aire sous la courbe entre 0 et 1 vaut pourtant exactement ln 2, et le chemin pour y parvenir ne fait que trois lignes dès lors que l'on munit l'intégrale d'une molette à tourner.
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Biologie & Chimie
Un feu se mesure à l'oxygène qu'il consommePar kilogramme de combustible, les matières que nous brûlons varient de plus d'un facteur trois. Par kilogramme d'oxygène, la plupart se situent à moins de 5 % d'une même valeur, car la chaleur dégagée dépend de ce que devient l'oxygène, et dans une flamme propre, il ne devient que l'une de deux choses.
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Mathématiques
La fraction pour π qu'aucune plus petite n'a surpassée en 1 500 ansZu Chongzhi a écrit 355/113 au Ve siècle. Elle reste la meilleure fraction pour π que l'on puisse obtenir avec trois chiffres sur trois, et la raison en est un seul grand nombre présent dans la fraction continue de π.
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Statistiques & Finance
On ne rembourse pas une dette publique, on la résorbe par la croissancePendant quatorze années consécutives, la dette américaine a augmenté et diminué en même temps. Laquelle de ces deux réalités l'on remarque dépend entièrement de ce par quoi on divise.
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Biologie & Chimie
Le séisme de 475 ans n'est pas de la géologieDeux nombres singuliers figurent sur les cartes de dimensionnement parasismique du monde entier. Aucun des deux n'a été mesuré. Tous deux découlent d'une probabilité de défaillance tolérée passée au filtre d'une ligne d'algèbre — et cette même ligne explique pourquoi une crue centennale de 100 ans relève du pile ou face à l'échelle d'une vie.
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Biologie & Chimie
Trente-neuf villes nécessitent plus d'ADN que la TerreLe calcul sur ADN promettait de vaincre la recherche exponentielle grâce au parallélisme moléculaire. Le décompte qui le condamne est l'argument même employé par Levinthal pour prouver que les protéines ne peuvent pas chercher leur forme — et ce qui survit à cet argument n'a rien à voir avec la vitesse.
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Statistiques & Finance
Le rendement moyen est le seul chiffre que votre argent ne produit jamaisUne moyenne est un résumé d'années déjà passées. Votre argent subit l'ordre dans lequel elles se sont produites, le risque qui les a générées et l'incertitude entourant la moyenne elle-même — et chacun de ces éléments a un coût que la moyenne ne révèle pas.
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Biologie & Chimie
Tuez les deux espèces au même rythme et vous obtenez plus de ravageursLe modèle prédateur-proie possède une moyenne exacte à long terme, et celle-ci se situe dans un endroit étrange : augmentez également le taux de mortalité des deux espèces et la population moyenne de proies augmente. Volterra l'a découvert dans les registres du marché aux poissons en 1926.
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Astronomie & Espace
Le Soleil attire la Lune deux fois plus fort que la TerreLa Terre attire la Lune avec 1,98 × 10²⁰ newtons. Le Soleil l'attire avec 4,35 × 10²⁰. Le Soleil l'emporte à plus de deux contre un, la Lune reste malgré tout avec nous, et la raison n'est pas celle à laquelle on pense spontanément.
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Mathématiques
Deux pays ont mesuré la même frontière et ont constaté un écart de 227 kilomètresL'Espagne évaluait sa frontière avec le Portugal à 1 214 km. Le Portugal établissait la même frontière à 987 km. Tous deux avaient mesuré avec soin ; ils avaient utilisé des règles différentes, et une règle plus courte trouve toujours plus de côte.
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Statistiques & Finance
"Réduire votre risque de moitié" peut signifier une personne sur centLe risque relatif paraît énorme et peut être minime ; le risque absolu paraît infime, mais il correspond à ce qui vous arrive réellement. C'est dans l'écart entre les deux que se situe la plupart des articles de santé, et la solution tient en une simple soustraction.
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Biologie & Chimie
En dessous de un, cela s'éteint. Au-dessus, cela s'emballe. Il n'y a rien entre les deux.Le même seuil gouverne les épidémies, les réactions nucléaires en chaîne, la PCR et les patronymes : si chaque unité produit en moyenne moins d'un successeur, l'extinction est certaine. La ligne de crête est exactement à 1, et les mathématiques ont d'abord été faites sur des noms de famille de l'époque victorienne.
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Astronomie & Espace
Le ciel nocturne devrait être aussi lumineux que le Soleil. Sortez et vérifiez.Si l'Univers était infini et éternel, chaque direction dans laquelle vous regardez finirait par rencontrer une étoile, et le ciel nocturne brillerait comme la surface de l'une d'elles. Or, il est noir, et cette obscurité constitue une preuve de l'âge de toute chose.
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Informatique
La moitié du japonais écrit tient en 158 caractères. Les 45 % suivants en exigent un millier de plus.La fréquence des mots obéit à la même loi dissymétrique dans toutes les langues examinées. Elle rend la première étape de l'apprentissage miraculeuse et la dernière impossible ; ces deux impressions découlent pourtant de la même courbe.
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Statistiques & Finance
Effectuez vingt tests sur rien du tout, et l'un d'eux sera significatifp < 0,05 promet un taux d'erreur de 5 % sur un seul test. Lancez-en vingt, et la probabilité d'avoir au moins une fausse alarme est de 64 %. La solution est arithmétique ; la vraie difficulté est que personne ne compte les tests qui n'ont pas été rapportés.
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Mathématiques
π est dans la courbe en cloche, et il n'y a pas le moindre cercle dedansLaissez tomber des aiguilles sur un parquet et vous mesurez π. Faites se heurter deux blocs et vous le comptez. Aucune des deux expériences ne contient de cercle. π parle en réalité de rotation et de somme de deux carrés ; le cercle n'est que l'endroit où la plupart d'entre nous le rencontrent en premier.
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Mathématiques
Vous avez saisi un chiffre. La réponse en affichait six.Un calculateur ne peut pas être plus précis que les données qu'on lui fournit, et aucun ne vous en avertit. Voici ce que signifient réellement ces chiffres supplémentaires, pourquoi l'inverse est le pire endroit pour l'oublier, et pourquoi ce site les affiche malgré tout.
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Physique
Vous pouvez retrouver la formule du pendule sans connaître la physique. Ou presque.L'analyse dimensionnelle vous donne la forme d'une loi à partir des seules unités : quelles grandeurs interviennent, et de quelle manière. Ce qu'elle ne peut pas vous donner, c'est le nombre pur placé devant, et savoir exactement où s'arrête la méthode est ce qui la rend utile.
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Astronomie & Espace
Personne n'a jamais pesé le Soleil. On a chronométré ce qui tourne autour.Il n'y a qu'une manière de mesurer une masse que l'on ne peut pas toucher : regarder un corps tourner autour d'elle, et chronométrer sa révolution. La même équation pèse les planètes, les étoiles et des galaxies entières. La matière noire est apparue là où sa réponse a cessé de correspondre au ciel.
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Physique
Dix degrés de plus au foyer valent 8,2 joules. Dix degrés de moins à la rivière en valent 16,7.Le rendement de Carnot dépend des deux températures, mais pas à égalité : abaisser la température du côté froid surpasse le réchauffement du côté chaud d'un facteur T_H/T_C. Or, le côté froid est le plus souvent une rivière que l'on ne contrôle pas.
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Mathématiques
Diviser le pas par deux devrait diviser l'erreur par deux. L'outil indique 1,73.« Premier ordre » est une promesse sur la limite, non sur le pas utilisé pour le calcul. L'écart entre la promesse et la mesure est lui-même du premier ordre, c'est pourquoi une estimation de l'erreur fondée sur cette promesse est fausse dans un sens prévisible.
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Physique
Quatre outils de ce site exécutent la même équation. Son paramètre porte quatre noms.RC, 1/λ, 1/k et la constante de temps membranaire ne sont qu'une seule et même grandeur sous quatre déguisements. Apprenez-la une fois et vous la maîtriserez dans quatre disciplines. La conversion sur laquelle on se trompe est la demi-vie.
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Statistiques & Finance
Chaque groupe dans les données tend à la baisse. Le total tend à la hausse.La pente globale est de +0,0928. Séparez les mêmes lignes selon une colonne supplémentaire, et la pente des deux groupes passe à −0,5842 et −0,6109. Ces deux descriptions sont arithmétiquement exactes, mais une seule répond à votre question.
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Astronomie & Espace
Un quasar à z = 3 s'éloigne à 1,46 fois la vitesse de la lumièreLe décalage vers le rouge cosmologique n'est pas un décalage Doppler, et la différence cesse d'être purement théorique au-delà de z ≈ 1,5, où la vitesse de récession dépasse c sans que rien ne se déplace dans l'espace ni n'enfreigne la relativité.
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Biologie & Chimie
Le seuil d'immunité collective est de 66,7 %, alors pourquoi l'épidémie infecte-t-elle 94,1 % ?Le seuil est le point où une épidémie cesse de croître, ce qui est très loin de l'endroit où elle s'arrête. Elle continue d'infecter des personnes bien au-delà de ce point, et l'ampleur de ce dépassement constitue l'argument en faveur de l'atteinte du seuil par la vaccination plutôt que par la maladie.
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Biologie & Chimie
Cinquante générations de sélection parfaite réduisent de moitié un gène récessif, et c'est le cas le plus favorableSupposons qu'une affection récessive soit létale dans tous les cas, à chaque génération, sans exception. Après cinquante générations, l'allèle est passé de 2 % à 1 %. L'arithmétique qui en explique la raison a été publiée en 1908.
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Mathématiques
La méthode de Newton peut doubler son erreur à chaque étape, alors que la solution n'était qu'à 0,01La méthode usuelle pour résoudre une équation de manière numérique converge si vite qu'elle donne l'impression de tricher. Appliquez-la à la racine cubique, et elle s'éloigne de la solution, doublant la distance à chaque étape, indéfiniment.
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Biologie & Chimie
Un atome radioactif ne sait pas quel âge il aUn atome qui a déjà survécu un million d'années a exactement la même probabilité de se désintégrer dans la seconde suivante qu'un atome créé il y a un instant. La décroissance exponentielle est la seule loi continue à posséder cette propriété, et c'est ce qui donne tout son sens à la demi-vie.
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Physique
La résonance est une relation de phase, non un picLe pic d'amplitude d'un oscillateur forcé se déplace avec l'amortissement et peut disparaître complètement, mais le retard de phase passe exactement par 90 degrés à la fréquence propre, quelle que soit la valeur de l'amortissement. La phase est la définition ; le pic est un symptôme.
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Statistiques & Finance
Il existe deux droites de régression, et R² est l'écart qui les sépareAjuster y en fonction de x et ajuster x en fonction de y donne deux droites différentes passant par les mêmes points. Le rapport de leurs pentes vaut exactement R², ce qui transforme cet indice familier de la qualité d'ajustement en une quantité directement observable.
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Mathématiques
Les nombres premiers se raréfient à un rythme que l'on peut nommerLa densité des nombres premiers au voisinage d'un nombre n est d'environ un sur ln n. Ce seul fait indique combien de nombres premiers se trouvent en dessous de n'importe quelle borne, pourquoi ils ne s'épuisent jamais, et combien de temps un ordinateur doit chercher pour en trouver un de 1024 bits.
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Astronomie & Espace
Pour rattraper le vaisseau spatial qui vous précède, ralentissezAllumer votre moteur en direction d'une cible située sur la même orbite vous rejette encore plus loin derrière elle. Le seul moyen de la rattraper est de freiner, de descendre sur une orbite plus basse et plus rapide, puis de remonter devant.
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Statistiques & Finance
Pourquoi un système occupé à 99 % n'est pas simplement un peu pire qu'un système occupé à 75 %La longueur de la file d'attente croît comme l'inverse de la marge résiduelle dont vous disposez, si bien que les derniers pourcents d'utilisation coûtent plus cher que tout le reste réuni. C'est pourquoi les systèmes semblent fonctionner normalement puis défaillent sans avertissement préalable.
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Statistiques & Finance
Le hasard achète la précision à un taux de change désastreuxUne estimation de Monte-Carlo s'améliore comme la racine carrée du nombre d'échantillons, de sorte que chaque chiffre exact supplémentaire exige cent fois plus de calculs. Le plus étonnant est que ce taux reste valable quel que soit le système simulé.
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Physique
La formule du pendule suppose silencieusement une faible amplitudeT = 2π√(L/g) n'est pas la période d'un pendule. C'est la période d'un pendule qui bouge à peine, et l'erreur s'élève à près de 16% lorsque l'amplitude atteint 85 degrés.
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Informatique
Pourquoi le tri ne peut pas devenir plus rapideTrier cent éléments nécessite au moins 525 comparaisons, et aucun algorithme futur ne fera mieux. La démonstration n'examine aucun algorithme en particulier : elle compte le nombre d'agencements possibles et ce qu'une question fermée peut au maximum vous apprendre.
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Physique
Pourquoi aucun piano n'est justeDouze quintes justes dépassent sept octaves de 23,46 cents. Cet écart ne peut être comblé par aucun accordage, car il découle des nombres premiers plutôt que de la musique, et chaque clavier sur lequel vous avez joué est le résultat d'un compromis négocié à son sujet.
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Biologie & Chimie
Une magnitude 7 n'est pas un peu pire qu'une magnitude 6Elle libère environ 32 fois plus d'énergie. Les échelles logarithmiques compriment les catastrophes en nombres qui paraissent voisins, et c'est exactement le problème quand on les rapporte.
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Astronomie & Espace
L'essentiel d'une fusée n'est que du carburant, et le progrès technique n'y changera rienL'équation des fusées est logarithmique dans le mauvais sens : la vitesse n'augmente que comme le logarithme de la masse emportée. Atteindre l'orbite coûte plus cher que tout le reste du voyage.
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Informatique
Pourquoi un modèle de langage peine à compter les lettres d'un motIl ne voit jamais les lettres. Le texte est découpé en tokens avant même que le modèle ne lise quoi que ce soit, et de nombreuses défaillances déroutantes découlent directement de l'endroit où tombent ces coupures.
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Statistiques & Finance
Vingt-trois personnes et la coïncidence à laquelle il faut s'attendreAvec 23 personnes dans une pièce, la probabilité que deux d'entre elles partagent un anniversaire dépasse une chance sur deux. Une pièce de cette taille rassemble 253 paires, et ce sont les paires qui comptent : leur nombre croît comme le carré de la liste des invités.
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Informatique
Aucun compresseur ne peut réduire tous les fichiers, et la démonstration tient en un paragrapheLa compression sans perte fonctionne en exploitant la prédictibilité ; un fichier qui en est totalement dépourvu ne peut donc aucunement être réduit. La démonstration repose sur le dénombrement : neuf éléments ne peuvent pas entrer dans huit boîtes.
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Statistiques & Finance
Un test fiable à 99 % se trompe la plupart du tempsDépistez une affection rare à l'aide d'un test fiable à 99 %, et 495 résultats positifs sur 594 sont de fausses alertes. C'est la rareté de l'affection qui en décide, et c'est le chiffre que personne ne mentionne à côté de la fiabilité.
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Mathématiques
Deux fois plus haut, c'est quatre fois plus de peinture et huit fois plus de bétonLes longueurs varient comme k, les aires comme k² et les volumes comme k³. Se tromper là-dessus est sans doute l'erreur d'arithmétique la plus coûteuse que commettent les gens ordinaires.
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Mathématiques
La règle qui fut le plafond de l'arithmétique pendant mille ansLe produit en croix est généralement relégué au rang de simple astuce technique. Pourtant consigné par écrit en 628 de notre ère, transmis à travers trois continents, il a marqué le terme du cursus mathématique pour la plupart de ceux qui en ont bénéficié.
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Mathématiques
Tout ballon de football compte douze pentagones, et il ne pourrait en avoir aucun autre nombreToute cage fermée de pentagones et d'hexagones présentant trois faces à chaque sommet possède exactement douze pentagones. Toujours douze, quelle que soit la taille du ballon, et la démonstration n'en compte jamais un seul.
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Mathématiques
Le théorème de Pythagore n'est pas une vérité sur les trianglesa² + b² = c² est mis en défaut sur une sphère, et en sens inverse dans l'espace hyperbolique. Ce que ce théorème affirme en réalité, c'est que la surface sur laquelle vous vous trouvez est plane.
