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Textos más largos sobre las matemáticas que hay detrás de las herramientas: qué afirma realmente un resultado, de dónde viene y en qué momento deja de ser cierto. Cada uno enlaza las herramientas con las que puedes comprobarlo tú mismo.
Traducciones automáticas. El original es la versión en inglés. English
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Matemáticas
Una primitiva sin fórmula y un área exactamente igual a ln 2Las reglas del tema de integración no llevan a ninguna parte con (x − 1)/ln x. Aun así, el área bajo la curva de 0 a 1 es exactamente ln 2, y el camino para hallarla ocupa tres líneas una vez que se le añade un dial a la integral.
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Biología y Química
Un fuego se mide por el oxígeno que consumePor kilogramo de combustible, las sustancias que quemamos difieren en más del triple. Por kilogramo de oxígeno, la mayoría se sitúa a menos del 5% de un mismo valor, porque el calor lo determina aquello en lo que se convierte el oxígeno, y en una llama limpia se convierte en una de dos cosas.
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Matemáticas
La fracción de π que ninguna más pequeña ha superado en 1.500 añosZu Chongzhi anotó 355/113 en el siglo V. Sigue siendo la mejor fracción para π que se puede obtener con tres cifras sobre tres, y el motivo es un único número grande situado en la fracción continua de π.
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Estadística y Finanzas
La deuda pública no se salda: se supera creciendoDurante catorce años consecutivos, la deuda de Estados Unidos aumentó y disminuyó al mismo tiempo. Cuál de las dos cosas se perciba depende enteramente de entre qué se divida.
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Biología y Química
El terremoto de 475 años no es geologíaDos números extraños figuran en los mapas de diseño sísmico de todo el mundo. Ninguno de los dos se midió. Ambos son una probabilidad de fallo tolerada pasada por una sola línea de álgebra, y esa misma línea explica por qué una inundación de 100 años es como lanzar una moneda a lo largo de una hipoteca.
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Biología y Química
Treinta y nueve ciudades necesitan más ADN que la TierraLa computación con ADN prometía superar la búsqueda exponencial mediante el paralelismo molecular. El recuento que la desmorona es el argumento que empleó Levinthal para demostrar que las proteínas no pueden buscar su conformación por tanteo; y lo que sobrevive a ese argumento no es en absoluto la velocidad.
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Estadística y Finanzas
La rentabilidad media es el único número que su dinero nunca obtieneUna media es un resumen de años que ya han transcurrido. Su dinero experimenta el orden en el que sucedieron, el riesgo que los produjo y la incertidumbre que rodea a la propia media; y cada uno de estos factores supone un coste que la media no refleja.
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Biología y Química
Elimina ambas especies a la misma tasa y obtendrás más plagaEl modelo depredador-presa tiene un promedio exacto a largo plazo, y se sitúa en un lugar curioso: si se aumenta por igual la tasa de mortalidad de ambas especies, la población media de presas sube. Volterra lo descubrió en los registros de los mercados de pescado en 1926.
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Astronomía y Espacio
El Sol atrae a la Luna con el doble de fuerza que la TierraLa Tierra atrae a la Luna con 1,98 × 10²⁰ newtons. El Sol la atrae con 4,35 × 10²⁰. El Sol gana por más de dos a uno, la Luna se queda con nosotros de todos modos, y la razón no es la que la mayoría supone.
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Matemáticas
Dos países midieron la misma frontera y discreparon en 227 kilómetrosEspaña fijó su frontera con Portugal en 1.214 km. Portugal situó la misma frontera en 987 km. Ambos habían medido con cuidado; habían utilizado reglas distintas, y una regla más corta siempre encuentra más costa.
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Estadística y Finanzas
"Reducir el riesgo a la mitad" puede significar una persona de cada cienEl riesgo relativo suena enorme y puede ser diminuto; el riesgo absoluto suena diminuto y es lo que realmente le ocurre a uno. La brecha entre ambos es donde habita la mayor parte de la información sobre salud, y la solución es una sola resta.
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Biología y Química
Por debajo de uno se apaga. Por encima de uno se desboca. No hay nada entre medias.El mismo umbral gobierna las epidemias, las reacciones nucleares en cadena, la PCR y los apellidos: si cada unidad produce de media menos de un sucesor, la extinción es segura. El filo está exactamente en 1, y la matemática se resolvió por primera vez con apellidos victorianos.
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Astronomía y Espacio
El cielo nocturno debería ser tan brillante como el Sol. Sal fuera y compruébalo.Si el universo fuera infinito y eterno, cualquier dirección en la que mirases acabaría topando con una estrella y el cielo nocturno resplandecería como la superficie de una de ellas. En cambio, es oscuro, y esa oscuridad es una prueba de la edad de todo lo que existe.
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Informática
La mitad del japonés escrito son 158 caracteres. El 45 % siguiente cuesta mil más.La frecuencia de las palabras sigue la misma ley asimétrica en todos los idiomas que se han analizado. Hace que la primera etapa del aprendizaje parezca milagrosa y la última parezca imposible, y ambas sensaciones corresponden a la misma curva.
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Estadística y Finanzas
Haz veinte pruebas sobre nada en absoluto y una de ellas resultará significativaUn valor p < 0,05 promete una tasa de error del 5% en una sola prueba. Ejecuta veinte y la probabilidad de al menos una falsa alarma es del 64%. La solución es aritmética; lo difícil es que nadie cuenta las pruebas que no incluyó en el informe.
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Matemáticas
π está en la campana de Gauss, y ahí no hay ninguna circunferenciaSe pueden dejar caer agujas sobre las tablas del suelo y medir π. Se pueden hacer chocar dos bloques y contarlo. En ninguno de los dos casos aparece una circunferencia. π trata en realidad de la rotación y de la suma de dos cuadrados; las circunferencias son solo el lugar donde casi todos lo encontramos por primera vez.
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Matemáticas
Introduces un solo dígito. La respuesta devuelve seis.Una calculadora no puede ofrecer más precisión que los datos introducidos, y ninguna lo advierte. A continuación se explica qué significan en realidad las cifras adicionales, por qué el recíproco es el peor lugar donde olvidarlo y por qué este sitio las muestra de todos modos.
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Física
Puedes deducir la fórmula del péndulo sin saber nada de física. Casi.El análisis dimensional proporciona la forma de una ley a partir únicamente de las unidades: qué magnitudes importan y de qué manera. Lo que no puede ofrecer es el número puro que la antecede, y saber exactamente dónde se detiene el método es lo que lo hace útil.
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Astronomía y Espacio
Nadie ha pesado nunca el Sol. Lo que hicimos fue cronometrar algo que gira a su alrededor.Solo hay una manera de medir una masa que no se puede tocar: mirar algo que la orbita y cronometrar la órbita. La misma ecuación pesa planetas, estrellas y galaxias enteras. La materia oscura apareció allí donde su respuesta dejó de encajar con el cielo.
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Física
Diez grados en el fuego valen 8,2 julios. Diez grados menos en el río valen 16,7.El rendimiento de Carnot depende de ambas temperaturas, pero no por igual: reducir el lado frío supera a aumentar el lado caliente por un factor de T_H/T_C. Desafortunadamente, el lado frío suele ser un río que no controlamos.
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Matemáticas
Reducir a la mitad el tamaño del paso debería reducir a la mitad el error. La herramienta indica 1,73.«Primer orden» es una promesa sobre el límite, no sobre el tamaño de paso con el que se está trabajando. La discrepancia entre la promesa y la medición es en sí misma de primer orden, motivo por el cual una estimación del error basada en dicha promesa yerra en una dirección predecible.
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Física
Cuatro herramientas de este sitio ejecutan la misma ecuación. Su parámetro tiene cuatro nombres.RC, 1/λ, 1/k y la constante de tiempo de la membrana son una misma magnitud bajo cuatro apariencias. Apréndela una vez y la dominarás en cuatro materias. La conversión en la que todo el mundo se equivoca es la semivida.
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Estadística y Finanzas
Cada grupo de los datos tiende a la baja. El total tiende al alza.La pendiente combinada es de +0,0928. Al dividir las mismas filas por una columna adicional, los dos grupos presentan pendientes de −0,5842 y −0,6109. Ambas descripciones son aritméticamente correctas, y solo una de ellas responde a tu pregunta.
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Astronomía y Espacio
Un cuásar a z = 3 se aleja a 1,46 veces la velocidad de la luzEl desplazamiento al rojo cosmológico no es un desplazamiento Doppler, y la diferencia deja de ser académica por encima de z ≈ 1,5, donde la velocidad de recesión supera c sin que nada se mueva a través del espacio ni viole la relatividad.
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Biología y Química
El umbral de inmunidad de grupo es del 66,7 %, ¿por qué la epidemia infecta al 94,1 %?El umbral es el punto donde un brote deja de crecer, lo cual dista mucho de ser donde se detiene. Sigue infectando a personas mucho más allá de ese punto, y la magnitud de ese sobrepaso es el argumento para alcanzar el umbral mediante la vacunación en lugar de pasar la enfermedad.
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Biología y Química
Cincuenta generaciones de selección perfecta reducen un gen recesivo a la mitad, y ese es el mejor de los casosSupongamos que una afección recesiva fuera letal en todos los casos, en cada generación y sin excepciones. Tras cincuenta generaciones, el alelo habría pasado del 2% al 1%. La aritmética que explica el motivo se publicó en 1908.
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Matemáticas
El método de Newton puede duplicar su error en cada paso, y la solución estaba a 0,01 de distanciaEl método habitual para resolver una ecuación numéricamente converge tan rápido que da la sensación de hacer trampa. Al aplicarlo a la raíz cúbica, se aleja de la solución, duplicando la distancia en cada paso, indefinidamente.
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Biología y Química
Un átomo radiactivo no sabe qué edad tieneUn átomo que ya ha sobrevivido un millón de años tiene exactamente la misma probabilidad de desintegrarse en el siguiente segundo que uno creado hace unos instantes. La desintegración exponencial es la única ley continua que posee esa propiedad, y es la razón por la que la semivida tiene siquiera sentido.
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Física
La resonancia es una relación de fase, no un picoEl pico de amplitud de un oscilador forzado se desplaza con el amortiguamiento y puede desaparecer por completo, pero el desfase pasa exactamente por 90 grados en la frecuencia natural para cualquier valor de amortiguamiento. La fase es la definición; el pico es un síntoma.
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Estadística y Finanzas
Hay dos rectas de regresión, y R² es la separación entre ellasAjustar y en función de x y ajustar x en función de y da dos rectas distintas a través de los mismos puntos. La razón de sus pendientes es exactamente R cuadrado, lo que convierte esa conocida cifra de bondad de ajuste en algo visible.
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Matemáticas
Los primos se rarifican a un ritmo que se puede nombrarLa densidad de números primos cerca de un número n es de aproximadamente uno de cada ln n. Ese único hecho indica cuántos primos se encuentran por debajo de cualquier límite, por qué nunca se agotan y cuánto tiempo debe buscar un ordenador para encontrar uno de 1024 bits.
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Astronomía y Espacio
Para alcanzar a la nave espacial que va delante, reduce la velocidadEncender el motor hacia un objetivo en la misma órbita te aleja aún más de él. La única forma de alcanzarlo es frenar, descender a una órbita más baja y rápida, y volver a subir por delante.
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Estadística y Finanzas
Por qué un sistema ocupado al 99% no es ligeramente peor que uno al 75%La longitud de la cola crece como uno partido por el margen de capacidad restante, de modo que los últimos puntos porcentuales de utilización cuestan más que todo el resto combinado. Por este motivo, los sistemas parecen funcionar bien y luego fallan sin ninguna advertencia previa.
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Estadística y Finanzas
La aleatoriedad compra precisión a un tipo de cambio pésimoUna estimación de Montecarlo mejora con la raíz cuadrada del número de muestras, de modo que cada dígito correcto adicional exige multiplicar por cien el trabajo. Lo peculiar es que esta proporción se mantiene independientemente de lo que se esté simulando.
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Física
La fórmula del péndulo asume discretamente una oscilación pequeñaT = 2π√(L/g) no es el periodo de un péndulo. Es el periodo de un péndulo que apenas se mueve, y el error crece hasta casi el 16% cuando la oscilación alcanza los 85 grados.
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Informática
Por qué la ordenación no puede ser más rápidaOrdenar cien elementos requiere al menos 525 comparaciones, y ningún algoritmo futuro podrá mejorarlo. La demostración no examina ningún algoritmo en absoluto: cuenta cuántas disposiciones existen y cuánto puede aportar, como máximo, una pregunta de sí o no.
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Física
Por qué ningún piano está afinadoDoce quintas justas quedan 23,46 cents por encima de siete octavas. Ninguna afinación puede cerrar esa diferencia, porque se trata de un hecho relativo a los números primos y no a la música, y cada teclado que has tocado es un acuerdo negociado al respecto.
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Biología y Química
Un terremoto de magnitud 7 no es un poco peor que uno de magnitud 6Libera unas 32 veces la energía. Las escalas logarítmicas comprimen catástrofes en cifras que parecen contiguas, y ahí está justamente el problema de contarlas así.
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Astronomía y Espacio
La mayor parte de un cohete es combustible, y una mejor ingeniería no cambiará esoLa ecuación del cohete es logarítmica en el sentido desfavorable: la velocidad aumenta como el logaritmo de la masa que se transporta. Alcanzar la órbita cuesta más que todo lo que viene después.
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Informática
Por qué a un modelo de lenguaje le cuesta contar las letras de una palabraNunca ve las letras. El texto se divide en tokens antes de que el modelo lea nada, y multitud de fallos desconcertantes se derivan directamente de dónde caen esas divisiones.
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Estadística y Finanzas
Veintitrés personas y la coincidencia que cabe esperarCon 23 personas en una sala, la probabilidad de que dos compartan cumpleaños supera la mitad. En una sala de ese tamaño caben 253 parejas, y son las parejas lo que importa: la cantidad crece con el cuadrado del número de asistentes.
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Informática
Ningún compresor puede reducir todos los archivos, y la demostración ocupa un solo párrafoLa compresión sin pérdidas funciona aprovechando la predictibilidad, por lo que un archivo que carece por completo de ella no se puede reducir en absoluto. La demostración consiste en contar: nueve cosas no caben en ocho cajas.
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Estadística y Finanzas
Una prueba con un 99% de precisión suele equivocarseAl realizar el cribado de una afección poco común con una prueba con un 99% de precisión, 495 de cada 594 positivos son falsas alarmas. Lo infrecuente que sea la afección es lo que determina ese resultado, y es la cifra que nadie menciona junto a la precisión.
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Matemáticas
El doble de alto son cuatro veces la pintura y ocho veces el hormigónLas longitudes escalan como k, las áreas como k² y los volúmenes como k³. Equivocarse en esto es, probablemente, el error aritmético más caro que comete la gente corriente.
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Matemáticas
La regla que fue el techo de la aritmética durante mil añosLa multiplicación en cruz suele descartarse como un truco procedimental. Se puso por escrito en el 628 d. C., viajó por tres continentes y fue el final del plan de estudios de matemáticas para la mayoría de quienes llegaron a tener uno.
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Matemáticas
Todo balón de fútbol tiene doce pentágonos, y no podría tener ningún otro númeroCualquier estructura cerrada de pentágonos y hexágonos con tres caras en cada vértice tiene exactamente doce pentágonos. Siempre doce, sea cual sea el tamaño del balón, y la demostración jamás cuenta ninguno.
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Matemáticas
Pitágoras no es una propiedad sobre los triángulosa² + b² = c² falla sobre una esfera y falla en sentido opuesto en el espacio hiperbólico. Lo que el teorema afirma en realidad es que la superficie sobre la que te encuentras es plana.
