Artiklid
Pikemad lood matemaatikast, mis tööriistade taga seisab: mida tulemus tegelikult väidab, kust see pärineb ja millest alates see enam ei kehti. Iga lugu viib tööriistadeni, millega saab järele kontrollida.
Masintõlked. Originaal on ingliskeelne versioon. English
-
Matemaatika
Valemita algfunktsioon ja pindala täpselt ln 2Integreerimispeatüki reeglitega ei jõua avaldise (x − 1)/ln x puhul kuhugi. Selle alune pindala vahemikus 0 kuni 1 on sellegipoolest täpselt ln 2 ning tee selleni on kolm rida pikk, kui anda integraalile reguleerimisnupp.
-
Bio, geo ja keemia
Tulekahju mõõdetakse hapniku järgi, mida see tarbibKütuse kilogrammi kohta erinevad põletatavad ained enam kui kolm korda. Hapniku kilogrammi kohta jääb enamik neist 5% piiridesse ühest ja samast arvust, sest eralduva soojuse määrab see, milleks hapnik muutub — ja puhtas leegis saab sellest üks kahest ainest.
-
Matemaatika
Murd arvu π jaoks, mida miski väiksem pole 1500 aasta jooksul ületanudZu Chongzhi pani viiendal sajandil kirja murru 355/113. See on ikka veel parim arvu π murd, mida saab esitada kolme numbriga kolme kohal, ning selle põhjuseks on üksainus suur arv π ahelmurrus.
-
Statistika & rahandus
Riigivõlga ei maksta tagasi, sellest kasvatakse väljaNeliteist aastat järjest muutus USA võlg üheaegselt nii suuremaks kui ka väiksemaks. Kumb neist kahest silma torkab, sõltub täielikult sellest, millega jagada.
-
Bio, geo ja keemia
475-aastane maavärin ei ole geoloogiaKogu maailma seismilise projekteerimise kaartidele on trükitud kaks kummalist arvu. Kumbagi neist ei mõõdetud. Mõlemad on ühest algebrareast läbi lastud lubatud tõrketõenäosus — ja seesama rida selgitab, miks 100-aastane üleujutus on inimese eluea jooksul nagu mündivise.
-
Bio, geo ja keemia
Kolmkümmend üheksa linna vajavad rohkem DNA-d kui MaaDNA-arvutus lubas alistada eksponentsiaalse otsingu molekulaarse paralleelsusega. Arvutus, mis selle idee kummutab, on sama argument, millega Levinthal tõestas, et valgud ei saa otsida oma kuju — ning see, mis sellest arutlusest püsima jääb, pole sugugi kiirus.
-
Statistika & rahandus
Keskmine tootlus on ainus arv, mida sinu raha kunagi ei teenitaKeskmine on kokkuvõte juba toimunud aastatest. Sinu raha kogeb nende toimumise järjekorda, neid põhjustanud riski ja määramatust keskmise enda ümber — ning igaüks neist maksab midagi, mida keskmine ei näita.
-
Bio, geo ja keemia
Kui mõlemat liiki hävitada sama määraga, kasvab kahjurite arvukusKiskja-saaklooma mudelil on täpne pikaajaline keskmine ning see asub ootamatus kohas: tõstes mõlema liigi suremust võrdselt, saakloomade keskmine populatsioon kasvab. Volterra avastas selle 1926. aastal kalaturu arvepidamistest.
-
Astronoomia & Kosmos
Päike tõmbab Kuud kaks korda tugevamini kui MaaMaa tõmbab Kuud jõuga 1,98 × 10²⁰ newtonit. Päike tõmbab seda jõuga 4,35 × 10²⁰. Päike võidab enam kui suhtega kaks ühele, kuid Kuu jääb sellest hoolimata meiega ning põhjus ei ole see, mida enamik inimesi arvab.
-
Matemaatika
Kaks riiki mõõtsid sama piiri ja nende tulemused erinesid 227 kilomeetri võrraHispaania määras oma piiriks Portugaliga 1214 km. Portugal määras sama piiri pikkuseks 987 km. Mõlemad olid mõõtnud hoolikalt; nad olid kasutanud erinevaid mõõtepulki ja lühem mõõtepulk leiab alati rohkem rannikut.
-
Statistika & rahandus
„Vähendab riski poole võrra“ võib tähendada ühte inimest sajastSuhteline risk kõlab hiiglaslikuna, kuid võib olla pisike; absoluutne risk kõlab pisikesena, kuid kujutab seda, mis teiega tegelikult juhtub. Nende kahe vahelises lõhes asub enamik terviseajakirjandusest ning lahenduseks on üks lahutamistehe.
-
Bio, geo ja keemia
Alla ühe see kustub. Üle ühe läheb see käest ära. Vahepealset ei ole.Sama lävi valitseb epideemiaid, tuumaahelreaktsioone, PCR-i ja perekonnanimesid: kui iga üksus toodab keskmiselt vähem kui ühe järglase, on väljasuremine kindel. Noatera on täpselt 1 juures, ja matemaatika töötati esimest korda välja Viktoria-aegsete perekonnanimede peal.
-
Astronoomia & Kosmos
Öötaevas peaks olema sama hele kui Päike. Astu õue ja kontrolli.Kui universum oleks lõpmatu ja igavene, tabaks vaatesuund igas suunas lõpuks mõnda tähte ning öötaevas säraks nagu tähe pind. Selle asemel on taevas tume ja see tumedus on tõend kõiksuse vanuse kohta.
-
Arvutustehnika
Pool jaapani kirjakeelest koosneb 158 märgist. Järgmise 45% jaoks on vaja tuhat märki lisaks.Sõnasagedused järgivad ühesugust ebaühtlast seaduspära igas keeles, mida on uuritud. See teeb õppimise alguse imepäraseks ja lõpuetapi näiliselt võimatuks, kuid mõlema tunde taga on üks ja seesama kõver.
-
Statistika & rahandus
Tee kakskümmend testi mitte millelgi ja üks neist osutub oluliseksp < 0,05 lubab ühel testil 5% veamäära. Tee kakskümmend ja vähemalt ühe valehäire tõenäosus on 64%. Lahendus peitub aritmeetikas; keeruline osa on see, et keegi ei loe kokku teste, mida ei esitatud.
-
Matemaatika
π on kellakõveras ja ringjoont ei ole seal kusagilPilluta nõelu põrandalaudadele ja saad π ära mõõta. Lase kahel klotsil kokku põrgata ja saad ta kokku lugeda. Kummaski ei ole kusagil ringjoont. π käib tegelikult pöörlemise ja kahe ruudu summa kohta; ringjoon on lihtsalt koht, kus enamik meist temaga esimest korda kohtub.
-
Matemaatika
Sisestasite ühe numbri. Vastuseks tuli kuus.Kalkulaator ei saa olla täpsem kui sellele sisestatud andmed, kuid ükski kalkulaator ei hoata selle eest. Siin on selgitatud, mida lisandunud numbrid tegelikult tähendavad, miks pöördväärtus on halvim koht selle unustamiseks ja miks see veebileht neid sellegipoolest kuvab.
-
Füüsika
Pendli valemi saab tuletada ilma füüsikat teadmata. Peaaegu.Dimensioonianalüüs annab seaduse kuju kätte üksnes ühikute põhjal: millised suurused on olulised ja kuidas. Mida see aga ei anna, on arvuline kordaja selle ees, ning täpne teadmine, kus meetodi piir jookseb, teebki selle kasulikuks.
-
Astronoomia & Kosmos
Keegi pole Päikest kunagi kaalunud. Selle asemel mõõtsime kellaga, kui kaua kestab üks tiir tema ümber.Massi, mida katsuda ei saa, on võimalik mõõta ühtainust moodi: vaadata, kuidas miski tema ümber tiirleb, ja mõõta tiiru kestus. Sama võrrand kaalub planeete, tähti ja terveid galaktikaid. Tumeaine ilmus välja seal, kus tema vastus lakkas taevaga kokku langemast.
-
Füüsika
Kümme kraadi tulel on väärt 8,2 džouli. Kümme kraadi jõelt on väärt 16,7.Carnot' kasutegur sõltub mõlemast temperatuurist, kuid mitte võrdselt: külma poole temperatuuri langetamine ületab kuuma poole tõstmist teguri T_H/T_C võrra. Kahjuks on külm pool tavaliselt jõgi, mida te ei kontrolli.
-
Matemaatika
Sammu pikkuse poolitamine peaks poolitama vea. Tööriist näitab 1,73.„Esimest järku“ on lubadus piirväärtuse, mitte parajasti kasutatava sammu pikkuse kohta. Lõhe lubaduse ja mõõdetu vahel on ise samuti esimest järku, mistõttu eksib sellele lubadusele rajatud veahinnang etteaimatavas suunas.
-
Füüsika
Selle lehe neli tööriista lahendavad ühte ja sama võrrandit. Selle parameetril on neli nime.RC, 1/λ, 1/k ja membraani ajakonstant on üks ja seesama suurus neljas eri kuues. Õpi see kord selgeks ja valdad seda neljas valdkonnas. Teisendus, milles eksitakse, on poolestusaeg.
-
Statistika & rahandus
Iga rühm andmetes näitab langustrendi. Koondnäitaja näitab tõusutrendi.Koondtõus on +0,0928. Jaotades samad read veel ühe täiendava veeru alusel, on kahe rühma tõusud vastavalt −0,5842 ja −0,6109. Mõlemad kirjeldused on aritmeetiliselt tõesed, kuid vaid üks neist vastab teie küsimusele.
-
Astronoomia & Kosmos
Kvasar punanihkel z = 3 eemaldub 1,46-kordse valguse kiirusegaKosmoloogiline punanihe ei ole Doppleri nihe ning see erinevus lakkab olemast akadeemiline alates väärtusest z ≈ 1,5, kus eemaldumiskiirus ületab c, ilma et miski liiguks läbi ruumi või rikuks relatiivsusteooriat.
-
Bio, geo ja keemia
Karjaimmuniteedi künnis on 66,7%, miks nakatab epideemia siis 94,1%?Künnis tähistab punkti, kus puhangu kasv peatub, mis pole kaugeltki see koht, kus nakatumine lakkab. Inimesed nakatuvad edasi veel kaua pärast seda ning selle ülelaske suurus ongi argument künniseni jõudmiseks vaktsineerimise, mitte haigestumise teel.
-
Bio, geo ja keemia
Viiskümmend põlvkonda täiuslikku valikut poolitab retsessiivse geeni sageduse, ja see on parim juhtumOletame, et retsessiivne seisund oleks surmav igal juhtumil, igas põlvkonnas ja ilma eranditeta. Viiekümne põlvkonna järel on alleeli sagedus langenud 2%-lt 1%-le. Aritmeetika, mis seda selgitab, avaldati 1908. aastal.
-
Matemaatika
Newtoni meetod võib oma viga igal sammul kahekordistada, ja lahend oli 0,01 kauguselTavapärane viis võrrandi numbriliseks lahendamiseks koondub nii kiiresti, et see tundub sohina. Anna sellele kuupjuur ja see eemaldub lahendist, kahekordistades vahemaad igal sammul, igavesti.
-
Bio, geo ja keemia
Radioaktiivne aatom ei tea, kui vana ta onAatomil, mis on juba miljon aastat vastu pidanud, on järgmise sekundi jooksul täpselt sama suur tõenäosus laguneda kui äsja tekkinud aatomil. Eksponentsiaalne lagunemine on ainus selle omadusega pidev seaduspärasus ja just seetõttu on poolestusaeg üldse mõttekas suurus.
-
Füüsika
Resonants on faasiseos, mitte tippSundvõnkuja amplituuditipp nihkub sumbumuse suurenedes ja võib täielikult kaduda, kuid faasi hilinemine läbib omasagedusel iga sumbumuse väärtuse juures täpselt 90 kraadi. Faas on definitsioon; tipp on sümptom.
-
Statistika & rahandus
Regressioonisirgeid on kaks ning R² on nendevaheline vaheMuutuja y sobitamine x suhtes ja x sobitamine y suhtes annavad läbi samade punktide kaks erinevat sirget. Nende tõusude suhe on täpselt R ruudus, mis muudab selle tuttava sobivusnäitaja millekski nähtavaks.
-
Matemaatika
Algarvud harvenevad kiirusel, mida saab nimetadaAlgarvude tihedus arvu n lähedal on umbes üks ln n-st. See ainus fakt ütleb, kui palju algarve jääb alla mis tahes piiri, miks need kunagi otsa ei lõpe ja kui kaua peab arvuti otsima 1024-bitist algarvu.
-
Astronoomia & Kosmos
Eesoleva kosmoselaeva püüdmiseks vähenda kiirustMootori käivitamine samal orbiidil oleva sihtmärgi suunas viib sind sellest veelgi kaugemale maha. Ainus viis sellele järele jõuda on pidurdada, laskuda madalamale ja kiiremale orbiidile ning tõusta taas ettepoole.
-
Statistika & rahandus
Miks 99% koormatud süsteem ei ole vaid pisut halvem kui 75% koormatud süsteemJärjekorra pikkus kasvab võrdeliselt allesjäänud varu pöördväärtusega, mistõttu viimased paar protsenti täituvust maksavad rohkem kui kogu ülejäänu kokku. Seetõttu tunduvadki süsteemid toimivat hästi ja tõrguvad seejärel ilma vahepealse hoiatuseta.
-
Statistika & rahandus
Juhuslikkus ostab täpsust väga halva vahetuskursigaMonte Carlo hinnang paraneb valimi mahu ruutjuureproportsioonis, mistõttu iga täiendav õige numbrikoht maksab sada korda rohkem tööd. Kummaline on see, et see seaduspärasus kehtib sõltumata sellest, mida parajasti simuleeritakse.
-
Füüsika
Pendli valem eeldab vaikimisi väikest võnkeamplituudiT = 2π√(L/g) ei ole pendli võnkeperiood. See on peaaegu liikumatu pendli periood ja viga kasvab peaaegu 16%-ni, kui võnkenurk jõuab 85 kraadini.
-
Arvutustehnika
Miks sortimine ei saa muutuda kiiremaksSaja elemendi sortimine nõuab vähemalt 525 võrdlust ning ükski tulevikualgoritm ei suuda seda tulemust parandada. Tõestus ei vaatle üldse ühtegi algoritmi: see loendab, kui palju erinevaid järjestusi on olemas ja kui palju saab üks jah-või-ei-küsimus üldse teada anda.
-
Füüsika
Miks ükski klaver pole häälestatudKaksteist puhtat kvinti jõuavad 23,46 tsenti kõrgemale kui seitse oktavit. Seda vahet ei saa kaotada ühegi häälestusega, sest see on tõsiasi algarvude, mitte muusika kohta, ning iga klahvpill, mida olete mänginud, on selle suhtes saavutatud kokkulepe.
-
Bio, geo ja keemia
Magnituud 7 ei ole magnituudist 6 pisut hullemSee vabastab umbes 32 korda rohkem energiat. Logaritmilised skaalad suruvad katastroofid arvudeks, mis paistavad kõrvuti, ja just selles seisnebki nende arvude edasiandmise häda.
-
Astronoomia & Kosmos
Enamik raketist on kütus ja parem inseneritöö seda ei muudaRaketivõrrand on logaritmiline vales suunas: kiirus kasvab kaasaskantava massi logaritmina. Orbiidile jõudmine maksab rohkem kui kõik sellele järgnev.
-
Arvutustehnika
Miks keelemudelil on raske sõnas tähti loendadaSee ei näe tähti kordagi. Tekst jagatakse tokeniteks enne, kui mudel üldse midagi loeb, ja suur hulk kummastavaid vigu tuleneb vahetult sellest, kuhu jaotuskohad langevad.
-
Statistika & rahandus
Kaksümmend kolm inimest ja kokkulangevus, mida tuleks oodataKui ruumis on 23 inimest, ületab ühise sünnipäeva tõenäosus poole piiri. Niisuguses ruumis leidub 253 paari ja olulised ongi paarid — nende arv kasvab võrdeliselt külaliste arvu ruuduga.
-
Arvutustehnika
Ükski tihendusprogramm ei suuda tihendada iga faili ja tõestus võtab ühe lõiguKadudeta pakkimine toimib ettenähtavust ära kasutades, seega ettenähtavuseta faili ei saa üldse väiksemaks teha. Tõestuseks on loendamine: üheksa asja ei mahu kaheksasse kasti.
-
Statistika & rahandus
99% täpsusega test eksib enamastiKui uurida haruldast seisundit 99% täpsusega testiga, on 495 igast 594 positiivsest tulemusest valehäired. Selle määrab seisundi haruldus, ja see on arv, mida keegi täpsuse kõrval ei nimeta.
-
Matemaatika
Kaks korda kõrgem on neli korda rohkem värvi ja kaheksa korda rohkem betooniPikkused skaleeruvad nagu k, pindalad nagu k² ja ruumalad nagu k³. Selle valesti saamine on ilmselt kalleim aritmeetikaviga, mida tavalised inimesed teevad.
-
Matemaatika
Reegel, mis oli tuhat aastat aritmeetika lagiRistkorrutamist peetakse tavaliselt pelgalt protseduuriliseks trikiks. See pandi kirja aastal 628 m.a.j, rändas läbi kolme mandri ja tähistas matemaatika õppekava lõppu enamikule neist, kellel see üldse kunagi oli.
-
Matemaatika
Igal jalgpallil on kaksteist viisnurka ega saaks olla ühtegi muud arvuIgas viisnurkadest ja kuusnurkadest koosnevas suletud karkassis, kus igas tipus kohtub kolm tahku, on täpselt kaksteist viisnurka. Alati kaksteist, olgu palli suurus milline tahes, ning tõestus ei loenda neist ühtegi.
-
Matemaatika
Pythagoras ei räägi kolmnurkadestVõrdus a² + b² = c² ei kehti sfääril ning kehtib vastupidiselt hüperboolses ruumis. Teoreem väidab tegelikult seda, et pind, millel seisate, on tasane.
